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Concept
Unitarité
Résumé
En mécanique quantique, l'unitarité désigne le fait que l'évolution de la fonction d'onde au cours du temps doit être compatible avec l'interprétation probabiliste qui lui est associée.
La fonction d'onde d'un système quantique, comme l'électron par exemple, permet de déterminer la probabilité de présence de celui-ci dans une petite boîte de volume centrée en par
Et comme la probabilité totale de trouver le système quelque part doit être de un, il en découle qu'on doit avoir
en intégrant sur tout l'espace.
Les fonctions d'onde dont l'intégrale sur tout l'espace est égale à 1 sont nommées fonction d'onde normalisable, et l'état quantique correspondant un état quantique normalisable. Mais toutes les fonctions d'ondes ne sont pas normalisables, comme celle correspondant à l'état de quantité de mouvement.
L'unitarité est une propriété de toutes les fonctions d'ondes normalisables.
Cette propriété de la fonction d'onde doit être vraie à tout instant donné. L'unitarité peut donc s'exprimer sous la forme :
L'équation de Schrödinger qui fixe l'évolution de la fonction d'onde doit satisfaire cette contrainte. On rappelle que cette équation s'écrit
où est le hamiltonien du système. Il en résulte alors que le hamiltonien doit être un opérateur hermitien, c’est-à-dire que les valeurs propres (et donc les quantités mesurées) de l'opérateur sont des nombres réels, ce qui correspond bien à la réalité.
Le critère d'unitarité peut s'exprimer plus généralement comme la conservation du produit scalaire dans le temps. Soient deux états quantiques et , on doit alors avoir :
la conservation de la norme n'étant que le cas particulier où .
On peut démontrer également que l'équation de Schrödinger conserve effectivement le produit scalaire (pourvu, toujours, que le hamiltonien soit hermitien).
L'équation de Schrödinger étant unitaire, elle peut être représentée par un opérateur unitaire dans le formalisme de la mécanique quantique.
Démonstration : représentons l'équation de Schrödinger par un opérateur linéaire U : .
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