Loi gamma-normale

En théorie des probabilités et en statistiques, la loi gamma-normale (ou Gamma- Gaussienne) est une distribution bivariée continue à quatre paramètres. Elle est la prieure conjuguée de la loi normale de moyenne et variance inconnues. Soit une paire de variable aléatoires (X,T). Si la distribution conditionnelle de X sachant T est normale de moyenne et variance et si la distribution marginale de T est une loi gamma alors (X,T) suit une loi gamma-normale, que l'on note La fonction de densité conjointe de (X,T) a la forme Par définition, la distribution marginale de est une loi gamma. La distribution marginale de est une loi de Student non-standardisée de paramètres . Si , alors pour tout b > 0, Les lois gamma-normales forment une famille exponentielle de paramètre naturel et de statistique suffisante . Ces moments se calculent à l'aide de la fonction génératrice des moments de la statistique suffisante : où est la fonction digamma, Soit X distribuée selon une normale de moyenne et variance inconnues Supposons que la distribution a priori de suive une distribution gamma-normale Étant donné un échantillon constitué de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d) , la distribution a posteriori de et conditionnellement à cet échantillon se calcule par la formule de Bayes. où est la vraisemblance des données observées pour ces paramètres. Pour des données i.i.d, la vraisemblance conjointe de l'échantillon est égale au produit des vraisemblances individuelles : Ainsi, où , moyenne d'échantillon, et , variance d'échantillon. La distribution a posteriori des paramètres devient ainsi Développant le terme de la deuxième exponentielle, on a : ce qui donne : Cette dernière expression est bien celle d'une distribution Gamma-Normale, La nouvelle moyenne est la moyenne pondérée de l'ancienne pseudo-moyenne et de la moyenne d'échantillon observée, avec des poids relatifs proportionnels aux nombres de (pseudo-)observations. Le nombre de pseudo-observations () est adapté simplement en y additionnant le nombre correspondant de nouvelles observations ().