Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Loi gamma-normale
Résumé
En théorie des probabilités et en statistiques, la loi gamma-normale (ou Gamma- Gaussienne) est une distribution bivariée continue à quatre paramètres. Elle est la prieure conjuguée de la loi normale de moyenne et variance inconnues.
Soit une paire de variable aléatoires (X,T).
Si la distribution conditionnelle de X sachant T est normale de moyenne et variance
et si la distribution marginale de T est une loi gamma
alors (X,T) suit une loi gamma-normale, que l'on note
La fonction de densité conjointe de (X,T) a la forme
Par définition, la distribution marginale de est une loi gamma.
La distribution marginale de est une loi de Student non-standardisée de paramètres .
Si ,
alors pour tout b > 0,
Les lois gamma-normales forment une famille exponentielle de paramètre naturel et de statistique suffisante .
Ces moments se calculent à l'aide de la fonction génératrice des moments de la statistique suffisante :
où est la fonction digamma,
Soit X distribuée selon une normale de moyenne et variance inconnues
Supposons que la distribution a priori de suive une distribution gamma-normale
Étant donné un échantillon constitué de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d) , la distribution a posteriori de et conditionnellement à cet échantillon se calcule par la formule de Bayes.
où est la vraisemblance des données observées pour ces paramètres.
Pour des données i.i.d, la vraisemblance conjointe de l'échantillon est égale au produit des vraisemblances individuelles :
Ainsi,
où , moyenne d'échantillon, et , variance d'échantillon.
La distribution a posteriori des paramètres devient ainsi
Développant le terme de la deuxième exponentielle, on a :
ce qui donne :
Cette dernière expression est bien celle d'une distribution Gamma-Normale,
La nouvelle moyenne est la moyenne pondérée de l'ancienne pseudo-moyenne et de la moyenne d'échantillon observée, avec des poids relatifs proportionnels aux nombres de (pseudo-)observations.
Le nombre de pseudo-observations () est adapté simplement en y additionnant le nombre correspondant de nouvelles observations ().
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.