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Concept
Théorème de Morley
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en géométrie plane, le théorème de Morley, découvert par Frank Morley en 1898, affirme que les intersections des trissectrices des angles d'un triangle forment un triangle équilatéral.
Le triangle équilatéral ainsi défini par le théorème de Morley s'appelle le « triangle de Morley » du triangle de départ.
Il existe de nombreuses démonstrations de ce théorème. Ci-dessous sont présentées trois démonstrations : une n'utilisant que des propriétés de géométrie élémentaire, les deux autres travaillant sur la trigonométrie ou les complexes offrant l'avantage de fournir la dimension du triangle équilatéral.
Claude Frasnay propose une démonstration sans trigonométrie ni nombres complexes, utilisant uniquement la somme des angles d'un triangle et les similitudes directes.
Pour tous réels strictement positifs a, b, c tels que a + b + c = , est appelé « dipode de pointure (a, b) » la figure QARBP constituée d'un triangle équilatéral direct QRP auquel on adjoint deux triangles de sens direct QAR et RBP tels que les angles de sommets A et B aient pour mesure en radians a et b et les angles de sommets Q et P aient pour mesure + c. Par construction, deux dipodes de même pointure sont directement semblables.
De même est appelé « tripode de pointure (a, b, c) », la figure QRPABC constituée de trois dipodes QARBP de pointure (a, b), RBPCQ de pointure (b, c) et PCQAR de pointure (c, a). Par construction, deux tripodes de même pointure sont directement semblables.
Pour un tripode QRPABC donné de pointure (a, b, c), on construit ensuite le triangle ABW direct tel que les angles de sommet A et B mesurent 2a et 2b. On appelle R le point de concours des bissectrices de ce triangle et on construit un triangle équilatéral direct QRP symétrique par rapport à (RW) et tel que P et Q appartiennent respectivement à [BW] et [AW]. On démontre alors que QARBP est un bipode de pointure (a, b). Comme deux bipodes de même pointure sont directement semblables, les bipodes QARBP et QARBP sont semblables et confondus, et les demi-droites [AR) et [BR) sont les bissectrices intérieures des angles QAB et ABP.
Source officielle
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