Ordre (théorie des anneaux)

En mathématiques, un ordre au sens de la théorie des anneaux est un sous-anneau O d'un anneau A tel que l'anneau A est une algèbre de dimension finie sur le corps Q des nombres rationnels, O engendre A sur Q, si bien que QO = A et O est un Z- dans A (c'est-à-dire un Z-sous-module de type fini sans torsion). Les deux dernières conditions signifient qu'additivement, O est un groupe abélien libre engendré par une base du Q-espace vectoriel A. Plus généralement, si A est une algèbre sur un corps K et R un anneau inclus dans K, un R-ordre de A est un sous-anneau de A qui est un R-réseau plein (c'est-à-dire qui vérifie les conditions 2 et 3 avec Z et Q remplacés respectivement par R et K). Voici quelques exemples de R-ordres d'une algèbre A : M(R), si A est l'anneau de matrices M(K) ; la fermeture intégrale de R dans A, si A est une extension finie séparable de K ; R[a], si A est l'algèbre K[a], pour un élément a de A entier sur R ; l'algèbre de groupe R[G], si A est l'algèbre K[G] d'un groupe fini G. Lorsque l'algèbre A n'est pas commutative, la notion d'ordre reste importante mais les phénomènes sont différents. Par exemple, quaternions de Hurwitz, qui est un ordre maximal dans l'algèbre Q[H] des quaternions à coordonnées rationnelles, contient strictement l'anneau Z[H] des quaternions à coordonnées entières. Il existe en général des ordres maximaux mais pas un ordre maximum. Une propriété fondamentale est que tout élément d'un R-ordre est entier sur R. Lorsque la fermeture intégrale S de R dans A est un R-ordre, il en résulte que S est le R-ordre maximum de A. Mais ce n'est pas toujours le cas : S peut ne pas être un anneau, et même s'il en est un (ce qui est le cas si A est commutative) il peut ne pas être un R-réseau. L'exemple-prototype, issu de la théorie algébrique des nombres avec Dedekind, est celui où A est un corps de nombres K et O est l'anneau O de ses entiers. Cet ordre est maximum mais contient des sous-ordres si K contient strictement Q.