Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes

En mathématiques, l'interaction entre le groupe de Galois G d'une extension galoisienne de corps de nombres L/K (ou de corps de nombres p-adiques, ou de corps de fonctions), et la manière dont les idéaux premiers de l'anneau O des entiers se décomposent sous forme de produits d'idéaux premiers de O, est à la base de nombreux développements fructueux en théorie algébrique des nombres. Le cas d'une extension non nécessairement galoisienne est traitée dans l'article « Décomposition des idéaux premiers ». Les notions d'extension ramifiée, d'extension décomposée y sont envisagées ; ces notions doivent certainement être familières pour aborder la lecture du présent article. Dans le cas d'une extension galoisienne, la structure supplémentaire se traduit au niveau de ces propriétés, via certains sous-groupes du groupe de Galois : le groupe de décomposition et le groupe d'inertie, mais aussi les supérieurs. Ces notions sont quelquefois attribuées à David Hilbert par l'appellation « théorie de Hilbert ». Il existe une analogie géométrique, la ramification des surfaces de Riemann, qui est plus simple du fait qu'une seule sorte de sous-groupe de G doit être considérée, plutôt que deux. Ceci était certainement familier avant Hilbert. Soit la factorisation d'un idéal premier P de O dans O :comme un produit d'idéaux premiers distincts P de O, avec les indices de ramification e, alors G agit transitivement sur les P. C’est-à-dire, les facteurs idéaux premiers de P dans L forment une orbite unique sous les K-automorphismes de L. L'unicité de la décomposition en produit d'idéaux premiers permet alors de montrer que l'indice de ramification e = e est indépendant de j. De même pour les degrés d'inertie f, en regardant cette fois l'action du groupe de Galois sur les corps résiduels (on explique plus en détail ci-dessous cette action, ce qui est plus technique). Ces deux assertions sont fausses en général pour les extensions non galoisiennes. On obtient alors la relation suivanteoù g est le nombre d'idéaux premiers distincts intervenant dans la décomposition de l'idéal P.