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Concept
Multiplication complexe
Résumé
En mathématiques, une courbe elliptique est à multiplication complexe si l'anneau de ses endomorphismes est plus grand que celui des entiers (il existe une théorie plus générale de la multiplication complexe pour les variétés abéliennes de dimension supérieure). Cette notion est liée au douzième problème de Hilbert.
Un exemple de courbe elliptique avec multiplication complexe est C/Z[i]θ où Z[i] est l'anneau des entiers de Gauss, et θ est n'importe quel nombre complexe différent de zéro. Tout tore complexe de la sorte possède l'anneau des entiers de Gauss comme anneau d'endomorphisme. Il est connu que les courbes correspondantes peuvent toutes être écrites sous la forme
De telles courbes ont un automorphisme évident d'ordre 4, celui qui envoie Y sur –iY et X sur –X et correspond à l'action de i sur les fonctions elliptiques de Weierstrass associées à la courbe.
Ceci est un exemple typique d'une courbe elliptique avec multiplication complexe. Sur le corps des nombres complexes, de telles courbes sont toutes trouvées comme des quotients
plan complexe / réseau de périodes
dans lequel un certain ordre dans l'anneau des entiers d'un corps quadratique imaginaire prend la place des entiers de Gauss.
Lorsque le corps de base est un corps fini, toute courbe elliptique admet des endormorphismes non triviaux ; la multiplication complexe est dans un sens typique (et la terminologie n'est pas souvent utilisée). En revanche, lorsque le corps de base est un corps de nombres, la multiplication complexe est un cas exceptionnel. Il est connu que, dans un cas général, le cas de multiplication complexe est le plus difficile à résoudre pour la conjecture de Hodge.
Kronecker postula le premier que les valeurs des fonctions elliptiques aux points de torsion d'une courbe elliptique à multiplication complexe devraient être suffisants pour engendrer toutes les extensions abéliennes des corps quadratiques imaginaires, une idée qui remontait à Eisenstein dans certains cas, et même à Gauss. Ceci devint connu comme le Kronecker Jugendtraum (« rêve de jeunesse de Kronecker »).
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