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Concept
Accouplement de Weil
Résumé
En géométrie algébrique et en théorie des nombres, l'accouplement de Weil est une relation mathématique entre certains points d'une courbe elliptique, plus spécifiquement une application bilinéaire fonctorielle entre ses points de torsion. Cet accouplement est nommé en l'honneur du mathématicien français André Weil, qui en a systématisé l'étude. Il s'agit d'un outil important dans l'étude de ces courbes.
Il est possible de définir un accouplement de Weil pour les courbes définies sur le corps des complexes ou sur des corps finis ; dans ce dernier cas, l'algorithme de Miller permet de le calculer efficacement, ce qui est à la base de la cryptographie à base de couplages sur les courbes elliptiques. Une construction similaire s'étend aux variétés algébriques plus générales.
On considère une courbe elliptique définie sur un corps . Soit un entier, et on suppose que contient une racine primitive -ième de l'unité, et on note le groupe cyclique des racines -ièmes de l'unité dans . Notons enfin les points de -torsion de la courbe :
où est l'application de « multiplication par » dans le groupe des points rationnels de la courbe, est l'élément neutre du groupe (le « point à l'infini »), et est la clôture algébrique de . Alors il existe un accouplement :
que l'on appelle accouplement de Weil. Cette fonction possède notamment les propriétés suivantes :
Bilinéarité : .
Alternance : et en particulier, .
Non-dégénerescence : si pour tout alors ; de même si pour tout , alors .
Invariance par les opérations du groupe de Galois : pour tout ,
Pour une courbe définie sur un corps fini , le plus petit entier tel que est appelé « degré de plongement ». Il correspond au degré de la plus petite extension dans laquelle les racines -ièmes de l'unité sont définies. Cette terminologie provient de l'attaque MOV qui permet notamment d'attaquer le problème du logarithme discret sur une courbe elliptique en plongeant le problème dans un corps fini, précisément , dans lequel des algorithmes plus efficaces sont connus tels que le crible du corps de nombre généralisé.
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