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Concept
Inégalité de Hoeffding
Résumé
En théorie des probabilités, l’inégalité de Hoeffding est une inégalité de concentration concernant les sommes de variables aléatoires indépendantes et bornées. Elle tire son nom du mathématicien et statisticien finlandais Wassily Hoeffding. Il existe une version plus générale de cette inégalité, concernant une somme d'accroissements de martingales, accroissements là encore bornés : cette version plus générale est parfois connue sous le nom d'inégalité d'Azuma-Hoeffding.
Dans cette section, nous allons comparer l'inégalité de Hoeffding et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dans le cas de la loi binomiale. Supposons que pour tout k entre 1 et n, on ait
Alors représente le nombre de piles obtenus à un jeu de pile ou face avec n lancers et où p est la probabilité d'avoir pile sur un lancer. suit la loi binomiale de paramètres n et p. Nous avons les inégalités suivantes, pour tout :
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne :
L'inégalité de Hoeffding donne .
On voit que dans ce cas (et c'est assez représentatif de la situation générale) l'inégalité de Hoeffding est beaucoup plus précise pour suffisamment grand.
La démonstration fait usage de la proposition suivante :
D'abord, on peut supposer c < 0 et d > 0. En effet, si , alors Y est une variable aléatoire presque-sûrement positive d'espérance nulle, donc Y=0 presque-sûrement et la proposition est évidente ; le raisonnement est analogue pour Par convexité de la fonction on a, pour
En passant à l'espérance, puisque on en déduit que
On pose
Puisque c < 0 et d > 0, on a bien d'où la pertinence de la notation. Il suit que
On remarque alors que
De plus
Alors, en vertu de la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 1,
On applique ensuite l'inégalité de Markov. Pour cela, on pose:
et on remarque que
Pour tout on a donc, en vertu d'un corollaire de l'inégalité de Markov, de l'indépendance des et donc des et de la proposition précédente :
L'inégalité est en particulier vraie pour
qui réalise le minimum de la borne de droite, ce qui démontre la première inégalité.
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