Inégalité de Hoeffding | EPFL Graph Search

En théorie des probabilités, l’inégalité de Hoeffding est une inégalité de concentration concernant les sommes de variables aléatoires indépendantes et bornées. Elle tire son nom du mathématicien et statisticien finlandais Wassily Hoeffding. Il existe une version plus générale de cette inégalité, concernant une somme d'accroissements de martingales, accroissements là encore bornés : cette version plus générale est parfois connue sous le nom d'inégalité d'Azuma-Hoeffding. Dans cette section, nous allons comparer l'inégalité de Hoeffding et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dans le cas de la loi binomiale. Supposons que pour tout k entre 1 et n, on ait Alors représente le nombre de piles obtenus à un jeu de pile ou face avec n lancers et où p est la probabilité d'avoir pile sur un lancer. suit la loi binomiale de paramètres n et p. Nous avons les inégalités suivantes, pour tout : L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne : L'inégalité de Hoeffding donne . On voit que dans ce cas (et c'est assez représentatif de la situation générale) l'inégalité de Hoeffding est beaucoup plus précise pour suffisamment grand. La démonstration fait usage de la proposition suivante : D'abord, on peut supposer c < 0 et d > 0. En effet, si , alors Y est une variable aléatoire presque-sûrement positive d'espérance nulle, donc Y=0 presque-sûrement et la proposition est évidente ; le raisonnement est analogue pour Par convexité de la fonction on a, pour En passant à l'espérance, puisque on en déduit que On pose Puisque c < 0 et d > 0, on a bien d'où la pertinence de la notation. Il suit que On remarque alors que De plus Alors, en vertu de la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 1, On applique ensuite l'inégalité de Markov. Pour cela, on pose: et on remarque que Pour tout on a donc, en vertu d'un corollaire de l'inégalité de Markov, de l'indépendance des et donc des et de la proposition précédente : L'inégalité est en particulier vraie pour qui réalise le minimum de la borne de droite, ce qui démontre la première inégalité.

Renforcement de dalles de bâtiment avec la technologie CFUP

Pierre Kinnar

Dans le cadre de ce projet de Master sur le renforcement de dalles de bâtiment, nous avons énuméré quelques points essentiels des dernières recherches du laboratoire de Maintenance de la Construction et Sécurité. Ces recherches ont établi les lois d’un Composite Fibré Ultra-Performant qui a fait ses preuves. Grâce au guide technique apparu récemment, les propriétés et les modèles de résistances à appliquer sont en vigueur. Afin de dynamiser l’engouement pour cette technologie, il paraissait opportun de dévoiler concrètement la marche à suivre pour un dimensionnement au CFUP armé. Pour ce faire, un tableau Excel a été minutieusement conçu afin d’être un appui central. Le but premier de ce présent rapport est que l’utilisateur du programme puisse comprendre et effectuer un renforcement de structure existante, plus particulièrement de dalles en béton. Il s’avère que ces dalles peuvent être de géométries et de propriétés variables. Dès lors, toutes ces diversités peuvent être introduites dans le tableau. Il existe par conséquent une multitude de résultats. Premièrement, le point fort de la technologie CFUP est qu’elle apporte une forte contribution au moment résistant négatif sur appuis. En effet, lorsque le matériau est sollicité en traction, toute la résistance est mobilisée et le calcul plastique aboutit à d’importants gains de résistance. Néanmoins, dans certains cas de figure, les avantages de la méthode cachent un défaut. En l’occurrence, le rapport de ductilité n’est pas satisfait et la hauteur comprimée de la section devient tellement élevée qu’elle pourrait subir une rupture fragile. Cette conclusion doit être relativisée car il n’est pas forcément nécessaire d’avoir autant de gain de résistance calculée. De plus, cela arrive principalement pour les dalles avec de faibles épaisseurs de nervure, lorsque le béton est médiocre et avec des chargements supérieurs à l’ELU. Un second gain de la méthode est l’augmentation de la hauteur statique en travée. Étant donné que les gains sont minimes, il est possible de combiner la couche supplémentaire avec du béton en travée ou de diminuer l’épaisseur et de seulement préserver son étanchéité. Toutefois, dans certains cas extrêmes, comme une dalle pleine fortement armée, la forte résistance à la compression du matériau permet de diminuer la hauteur comprimée et donc d’opérer à des redistributions plastiques. Troisièmement, le cisaillement du CFUP n’arrive quasiment pas à se produire et les conditions pour une vérification à l’effort tranchant sont difficilement satisfaites lorsque les dalles ne sont pas nervurées. La méthode proposée par la SIA 2052 est longue. Le but est de trouver le degré de conformité minimale. Pour ce faire, la méthode vérifie plusieurs positions critique. En d’autres termes, la résistance minimale s’obtient en variant l’angle critique tout comme la longueur entre deux rotules plastiques et en la comparant à l’effort sollicitant. Finalement, ces recherches aboutissent à la conception d’un abaque de dimensionnement interactif. Au lieu d’avoir une multitude d’abaques pour chaque cas de figure, nous n'avons qu’un seul abaque propre à chaque introduction de données d’une quelconque dalle existante. Celui-ci permet de trouver l’épaisseur et l’armature minimale à mettre en place pour obtenir un certain gain. A noter que tous ces cas de figures s’appuient sur deux projets de renforcement de dalles nervurées. Le premier étant le bâtiment UBS-Rhône à Genève et le deuxième concerne le bâtiment DuPont à Zurich pour lequel nous avons effectué des tests de rupture.

2018

Renforcement de dalles de bâtiment avec la technologie CFUP

Pierre Kinnar

2018