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Concept
Inégalité de concentration
Résumé
Dans la théorie des probabilités, les inégalités de concentration fournissent des bornes sur la probabilité qu'une variable aléatoire dévie d'une certaine valeur (généralement l'espérance de cette variable aléatoire). Par exemple, la loi des grands nombres établit qu'une moyenne de variables aléatoires i.i.d. est, sous réserve de vérifier certaines conditions, proche de leur espérance commune. Certains résultats récents vont plus loin, en montrant que ce comportement est également vérifié par d'autres fonctions de variables aléatoires indépendantes.
Inégalité de Markov
Cette inégalité indique la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives dépasse une certaine valeur, autrement dit elle permet de majorer la queue d'une loi de probabilité. En particulier, la probabilité qu'elle dépasse des valeurs de plus en plus grandes est de plus en plus faible. Si est une variable aléatoire réelle qu'on suppose presque sûrement positive alors
Ce résultat possède un corollaire qui généralise ce résultat à toute fonction croissante et positive :
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Cette inégalité indique comment une variable dévie de sa moyenne. En particulier, la probabilité qu'une variable aléatoire dévie d'une valeur de plus en plus grande de sa moyenne est de plus en plus faible. On la démontre grâce à l'inégalité de Markov. Soit une variable aléatoire admettant un moment d'ordre deux alors
On peut généraliser cela à une variable aléatoire admettant un moment d'ordre :
Inégalité de Chernoff
Cette inégalité permet de majorer la queue d'une loi de probabilité au même titre que l'inégalité de Markov. Elle ressemble à cette dernière mais donne une borne exponentielle.
Soit une variable aléatoire dont la fonction génératrice est finie. Alors
où est la transformée de Cramér définie par
Inégalité de Bennett
Cette inégalité majore la fonction génératrice des cumulants d'une somme de variables aléatoires indépendantes majorées centrées et majore en conséquence d'après l'inégalité de Chernoff la probabilité que cette somme dévie avec une quantité donnée.
Source officielle
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