Principe de l'argument

En analyse complexe, le principe de l'argument (parfois appelé théorème de l'argument) relie la différence entre le nombre de zéros et de pôles d'une fonction méromorphe par rapport à une intégrale curviligne de sa dérivée logarithmique. Soit une fonction méromorphe sur un ouvert simplement connexe dont l'ensemble des zéros et des pôles est fini. Alors pour tout lacet à image dans , où est la valuation de en c'est-à-dire l'ordre de si est un zéro et l'opposé de l'ordre de si c'est un pôle et est l'indice du point par rapport au lacet. Si est un lacet simple positivement orienté formant le bord d'un compact , la relation ci-dessus se réécrit : où et représentent respectivement le nombre de zéros et de pôles de dans comptés avec leur multiplicité. Le principe de l'argument permet de compter le nombre de tours que fait l'image de par autour de l'origine. C'est sur cette notion que se base notamment la démonstration du théorème de Rouché. Considérons en effet le terme , et posons où l'on peut supposer que est fonction du paramètre t, variant entre 0 et 1. Par définition de l'intégrale curviline, Mais cette expression définit justement l'indice de 0 par rapport au chemin , qui s'interprète comme le nombre de « tours » effectués par le point autour de 0, lorsque t varie entre 0 et 1, ou ce qui revient au même, lorsque est « revenu » à son point de départ. Ainsi, E représente le nombre (algébrique) de tours effectués autour de l'origine par f(z), lorsque z se meut sur le chemin , jusqu'à être revenu à son point d'origine.

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Publications associées (1)

Concepts associés (3)

Séances de cours associées (10)

Principe de l'argument

Pôle (mathématiques)

thumb|Représentation de la fonction avec deux pôles d'ordre 1, en z = et z = -. En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité isolée qui se comporte comme la singularité en z = 0 de la fonction , où n est un entier naturel non nul. Une fonction holomorphe n'ayant que des singularités isolées qui sont des pôles est appelée une fonction méromorphe. Soient U un ouvert du plan complexe C, a un élément de U et une fonction holomorphe.

Analyse complexe

L'analyse complexe est un domaine des mathématiques traitant des fonctions à valeurs complexes (ou, plus généralement, à valeurs dans un C-espace vectoriel) et qui sont dérivables par rapport à une ou plusieurs variables complexes. Les fonctions dérivables sur un ouvert du plan complexe sont appelées holomorphes et satisfont de nombreuses propriétés plus fortes que celles vérifiées par les fonctions dérivables en analyse réelle. Entre autres, toute fonction holomorphe est analytique et vérifie le principe du maximum.

La passivité dans les systèmes de printemps de masse ME-523: Nonlinear Control Systems

Explore la passivité dans les systèmes masse-ressort, calculant les fonctions de transfert et assurant la passivité du système par l'assemblage de rétroaction.

Applications phénoménologiques du modèle standard

Explore la vérification du modèle standard à travers des expériences de diffusion et les implications de modèles de matière noire minimes.

Fonctions Méromorphes & Différentiels MATH-410: Riemann surfaces

Explore les fonctions méromorphes, les pôles, les résidus, les ordres, les diviseurs et le théorème de Riemann-Roch.

A convex set of robust D—stabilizing controllers using Cauchy's argument principle

Alireza Karimi, Philippe Louis Schuchert

A new approach is presented to obtain a convex set of robust D—stabilizing fixed structure controllers, relying on Cauchy's argument principle. A convex set of D—stabilizing controllers around an init

Elsevier2022