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Concept
Quantification géométrique
Résumé
En physique mathématique, la quantification géométrique est une approche formelle du passage de la mécanique classique à la mécanique quantique fondée sur la géométrie symplectique. Par exemple, des liens peuvent être tissés entre :
l'équation de Hamilton et l'équation de Heisenberg;
le crochet de Poisson et le commutateur quantique.
Physiquement parlant, la quantification géométrique consiste à mettre un chapeau sur les observables classiques d'une variété symplectique donnée.
Mathématiquement parlant, la quantification géométrique consiste à définir un monomorphisme d'algèbres allant de l'algèbre de Poisson d'une variété symplectique à l'algèbre d'endomorphismes autoadjoints d'un espace de Hilbert.
Le programme de quantification géométrique fut initié par Jean-Marie Souriau vers 1960.
Le but, à terme, est de définir la quantification de Dirac dans un contexte géométrique, i.e. où les coordonnées locales ne jouent qu'un rôle auxiliaire.
Ce faisant, la quantification géométrique n'utilise que des concepts géométriques e.g. des variétés symplectiques, des fibrés, des sections de fibrés, des dérivées covariantes, etc.
L'intérêt d'une telle construction géométrique de la mécanique quantique vient, en particulier, du fait que la relativité générale est fondée sur la géométrie différentielle.
La quantification géométrique fut l'un des principaux moteurs de recherche en géométrie symplectique des années '60 aux années '80.
Remarque : Dans l'exposé qui suit, la convention de signe employée pour le crochet de Poisson est celle utilisée par Landau et Lifschitz , Souriau , Kirillov , Woodhouse puis McDuff et Salamon et non celle employée par Dirac, Arnold , Goldstein et de Gosson .
1913 : Niels Bohr élabore son modèle atomique, le modèle de Bohr. Ce modèle sera raffiné par Arnold Sommerfeld pour en faire le modèle de Bohr-Sommerfeld.
1925 :
En , Louis de Broglie établit les ondes de phase.
En , Werner Heisenberg définit la mécanique matricielle.
En , Paul Dirac pose les trois conditions quantiques devant être vérifiées par une éventuelle procédure de quantification :
1.
Source officielle
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