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Concept
Vitesse aréolaire
Résumé
La vitesse aréolaire est une grandeur qui exprime la limite du rapport de l'accroissement infinitésimal d'une aire balayée par le rayon vecteur d'un mobile sur un accroissement infinitésimal de temps. C'est la dérivée première par rapport au temps de l'aire balayée par le rayon vecteur d'un mobile. C'est le rapport de cette aire au temps employé. Elle se définit par :
où A étant l'aire du secteur balayé par le rayon vecteur ρ, θ étant l'angle parcouru, étant la vitesse angulaire.
La vitesse aréolaire est couramment notée , symbole correspondant à la lettre latine A avec un point suscrit.
Explication A est la notation de la surface ou aire. Le point suscrit est utilisé pour exprimer que est la dérivée première de A par rapport au temps.
La dimension de la vitesse aréolaire est :
Explication
Le mètre carré par seconde, unité dérivée du Système international (SI), est son unité.
La vitesse aréolaire moyenne s'exprime par :
La vitesse aréolaire instantanée s'exprime par :
La vitesse aréolaire constante s'exprime par :
où C est la constante des aires :
droite
Considérons une trajectoire plane.
Au temps t = 0, le mobile est en M. Au temps t, le mobile est en M.
On appelle A l'aire balayée par le rayon vecteur du temps t au temps t.
Au bout du temps dt, le rayon vecteur aura balayé le secteur OMM = d A.
Les coordonnées du point M sont, en coordonnées cartésiennes, x et y ou bien, en coordonnées polaires, ρ (pour le rayon) et θ (pour l'angle).
Celles de M' sont, en coordonnées cartésiennes, x + dx et y + dy, ou bien, en coordonnées polaires, ρ + dρ et θ + dθ.
On évalue l'aire du secteur OMM', qui se confond avec l'aire du triangle OMM'.
c'est-à-dire :
On peut négliger l'infiniment petit dρ devant la quantité finie ρ, et confondre le sinus avec l'angle infiniment petit dθ, car a pour limite 1.
On obtient donc l'aire du triangle infinitésimal OMM' :
Et donc la vitesse aréolaire en coordonnées polaires :
L'aire du triangle infinitésimal OMM' est donnée par le déterminant :
D'où on tire la vitesse aréolaire en coordonnées cartésiennes :
Par définition, le moment cinétique est donné, pour un mobile de masse m, par :
avec la position du mobile,
et est la vitesse du mobile en mouvement.
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Concepts associés (3)
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