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Concept
Automorphisme
Résumé
Un automorphisme est un isomorphisme d'un objet mathématique X dans lui-même. Le plus souvent, c'est une bijection de X dans X qui préserve la « structure » de X. On peut le voir comme une symétrie de X. Les automorphismes de X forment un groupe.
La définition abstraite d'un automorphisme est la suivante : c'est un endomorphisme qui est en même temps un isomorphisme. Autrement dit, c'est un morphisme d'un objet X d'une catégorie donnée dans lui-même, qui est également un isomorphisme.
Cette définition est très générale et peut paraître assez abstraite. Dans les cas les plus fréquents cependant, elle se réduit à quelque chose de beaucoup plus concret. Par exemple, dans le cas d'une structure algébrique, un automorphisme sera simplement une application bijective qui préserve la ou les lois de composition définissant la structure.
L'ensemble des automorphismes d'un objet X est en général noté Aut(X), ou lorsqu'on veut préciser que l'on se place dans la catégorie C. La composition de fonctions (ou des flèches dans le cadre général des catégories) donne à Aut(X) une structure de groupe : l'élément neutre est la fonction identité, et l'inverse d'un automorphisme est sa réciproque.
Si X est un ensemble, le groupe des automorphismes de X est le groupe symétrique sur X.
Si V est un espace vectoriel sur un corps commutatif K, les automorphismes de V sont les applications linéaires bijectives de V dans lui-même. Dans le cas où V est de dimension finie n, Aut(V) est isomorphe au groupe linéaire GL(K).
Si X est un espace topologique, les automorphismes de X sont les homéomorphismes de X dans lui-même.
Si M est une variété différentielle, les automorphismes de M sont les difféomorphismes de M dans elle-même.
Si K est un corps, un automorphisme de K est simplement un morphisme d'anneaux bijectif de K dans K. Par exemple, n'a pas d'automorphismes non triviaux (c'est-à-dire différents de l'identité). Par contre, possède deux automorphismes continus : l'identité et la conjugaison. possède également d'autres automorphismes de corps non continus.
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