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Concept
Action de groupe (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe.
Définition
Étant donné un ensemble E et un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, une action (ou opération) de G sur E est une application :
vérifiant chacune des 2 propriétés suivantes :
On dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E. Il est important de bien vérifier que l'ensemble E est stable sous l'action du groupe G.
Un point de vue équivalent consiste à dire que le groupe G opère sur l'ensemble E si l'on dispose d'un morphisme de groupes, dit associé à l'action, \phi : G \to{\rm S}_E, du groupe G dans le groupe symétrique S de l'ensemb
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