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Concept
Action de groupe (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe.
Étant donné un ensemble E et un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, une action (ou opération) de G sur E est une application :
vérifiant chacune des 2 propriétés suivantes :
On dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E. Il est important de bien vérifier que l'ensemble E est stable sous l'action du groupe G.
Un point de vue équivalent consiste à dire que le groupe G opère sur l'ensemble E si l'on dispose d'un morphisme de groupes, dit associé à l'action, , du groupe G dans le groupe symétrique S de l'ensemble E. Un tel morphisme est appelé une représentation du groupe G.
Ce morphisme est lié à l'action par pour tout .
Dans le cas où l'ensemble E est muni d'une structure supplémentaire (algébrique, topologique, géométrique), on peut se limiter aux morphismes tels que préserve cette structure pour tout ; ces actions sont appellées actions par automorphismes (pour cette structure). Par exemple, si E est un espace vectoriel, et on exige que soit à valeurs dans GL(E), on parle d'une action linéaire de G sur E.
Un groupe opère sur lui-même de deux manières fondamentales :
par translations à gauche ; cette action est simplement transitive, c'est-à-dire libre et transitive : ;
par automorphismes intérieurs, action aussi appelée par conjugaison ::
Le groupe symétrique d'un ensemble E opère naturellement sur E ; cette action est fidèle et transitive :.
Plus généralement, un groupe de permutations G d'un ensemble E (c'est-à-dire un sous-groupe du groupe symétrique de E) opère sur E par . Cette opération est appelée l'opération naturelle du groupe de permutations G. Elle est fidèle mais pas forcément transitive.
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