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Concept
Théorie géométrique de la mesure
Résumé
En mathématiques, la théorie géométrique de la mesure (ou théorie de la mesure géométrique) est l'étude des propriétés géométriques de la mesure d'ensembles (typiquement dans un espace euclidien). Elle a été fondée par Herbert Federer. L'idée est de résoudre certains problèmes géométrique en les formulant dans le cadre de l'analyse fonctionnelle, facilitant leur résolution.
La théorie de la mesure géométrique est connue pour intervenir efficacement dans la résolution du problème de Plateau qui consiste à trouver une surface d'aire minimale avec des contraintes sur les bords de celle-ci. C'est conjointement que les mathématiciens américains Herbert Federer et Wendell Fleming proposèrent d’utiliser des courants au début des années 1960. Bien qu'ils soient les premiers à employer le terme de mesure géométrique, les concepts de la théorie remonte aux travaux du mathématicien italien Ennio de Giorgi et du français Jean-Pierre Kahane sur des ensembles non rectifiables tels que les fractales. En 1969, Federer et Fleming publie un ouvrage de référence qui pose les bases de la théorie de la mesure géométrique.
Bien que commode, l'utilisation de courants pour représenter des surfaces limite ces dernières à avoir une orientation claire, ce qui limite les problèmes que l'on peut résoudre. Dans l'optique de surmonter ce problème d'orientation, Frederick J. Almgren en 1966, puis William K. Allard en 1972, développent la théorie des varifolds.
Dans l'optique de représenter encore plus fidèlement les surfaces, avec notamment des informations de courbure, des mathématiciens ont étudié les cycles normaux, introduit par Federer, développé par M. Zähle. Ceux-ci généralisent la notion de courant sur des espaces de dimension plus grande, tel que le fibré normal de la surface, afin de capturer plus d'informations sur celle-ci.
Algèbre extérieure
En théorie de la mesure géométrique, pour travailler sur des objets tels que des surfaces et des volumes, on utilise les outils de l'algèbre extérieur. Brièvement, on peut définir cet algèbre sur un espace vectoriel .
Source officielle
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