Intégrale de Dirichlet
L'intégrale de Dirichlet est l'intégrale de la fonction sinus cardinal sur la demi-droite des réels positifs Il s'agit d'une intégrale impropre semi-convergente, c'est-à-dire qu'elle n'est pas absolument convergente () mais existe et est finie. On considère la fonctionEn 0, sa limite à droite vaut 1, donc f est prolongeable en une application continue sur [0, +∞[, si bien qu'elle est intégrable sur [0, a] pour tout a > 0.Mais elle n'est pas intégrable en +∞, c'est-à-dire que. Cependant, Dirichlet, dans son article historique de 1829 sur les séries de Fourier, mentionne en passant une preuve fondée sur le critère de convergence des séries alternées : dans le même esprit, la règle d'Abel pour les intégrales — ou une simple intégration par parties — fournit une preuve de convergence ; les méthodes ci-dessous de calcul de l'intégrale fournissent encore d'autres preuves de son existence. La méthode consiste à poser et à montrer que la différence de ces deux suites tend vers 0, que la première est constante, égale à π/2, et que la deuxième tend vers l'intégrale de Dirichlet. En remarquant que x ↦ (sin x)/x est la partie imaginaire de x ↦ e/x et en considérant la fonction complexe F : z ↦ e/z, le théorème des résidus appliqué aux intégrales du quatrième type, permettant de calculer une valeur principale de Cauchy — ou plus simplement ici : le théorème intégral de Cauchy —, donne le résultat voulu. Plus précisément, F admet un unique pôle, en 0. Considérons le contour défini comme suit : pour deux réels R > ε >0, on choisit les demi-cercles et de centre O, de rayons R et ε, situés dans le demi-plan supérieur et on les relie par deux segments I et J. Cette courbe délimite un domaine borné du plan ne contenant pas l'origine. thumb|upright=2|center|Contour pour l'intégrale de Dirichlet. Le théorème de Cauchy donne alors d'où, en faisant tendre R vers +∞ et ε vers 0 : ce qui permet de conclure : On peut aller un peu plus vite en considérant la fonction z ↦ (e – 1)/z qui se prolonge en une fonction entière.
