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Concept
Intégrale de Dirichlet
Résumé
L'intégrale de Dirichlet est l'intégrale de la fonction sinus cardinal sur la demi-droite des réels positifs
Il s'agit d'une intégrale impropre semi-convergente, c'est-à-dire qu'elle n'est pas absolument convergente () mais existe et est finie.
On considère la fonctionEn 0, sa limite à droite vaut 1, donc f est prolongeable en une application continue sur [0, +∞[, si bien qu'elle est intégrable sur [0, a] pour tout a > 0.Mais elle n'est pas intégrable en +∞, c'est-à-dire que.
Cependant,
Dirichlet, dans son article historique de 1829 sur les séries de Fourier, mentionne en passant une preuve fondée sur le critère de convergence des séries alternées :
dans le même esprit, la règle d'Abel pour les intégrales — ou une simple intégration par parties — fournit une preuve de convergence ;
les méthodes ci-dessous de calcul de l'intégrale fournissent encore d'autres preuves de son existence.
La méthode consiste à poser
et à montrer que la différence de ces deux suites tend vers 0, que la première est constante, égale à π/2, et que la deuxième tend vers l'intégrale de Dirichlet.
En remarquant que x ↦ (sin x)/x est la partie imaginaire de x ↦ e/x et en considérant la fonction complexe F : z ↦ e/z, le théorème des résidus appliqué aux intégrales du quatrième type, permettant de calculer une valeur principale de Cauchy — ou plus simplement ici : le théorème intégral de Cauchy —, donne le résultat voulu.
Plus précisément, F admet un unique pôle, en 0. Considérons le contour défini comme suit : pour deux réels R > ε >0, on choisit les demi-cercles et de centre O, de rayons R et ε, situés dans le demi-plan supérieur et on les relie par deux segments I et J. Cette courbe délimite un domaine borné du plan ne contenant pas l'origine.
thumb|upright=2|center|Contour pour l'intégrale de Dirichlet.
Le théorème de Cauchy donne alors
d'où, en faisant tendre R vers +∞ et ε vers 0 :
ce qui permet de conclure :
On peut aller un peu plus vite en considérant la fonction z ↦ (e – 1)/z qui se prolonge en une fonction entière.
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