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Concept
Intégration par parties
Résumé
En mathématiques, l'intégration par parties (parfois abrégée en IPP) est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales. Elle est fréquemment utilisée pour calculer une intégrale (ou une primitive) d'un produit de fonctions. Cette formule peut être considérée comme une version intégrale de la règle du produit.
Le mathématicien Brook Taylor a découvert l'intégration par parties, publiant d'abord l'idée en 1715. Des formulations plus générales d'intégration par parties existent pour l'intégrale de Riemann-Stieltjes et pour l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes. L'analogue discret pour les suites est appelé sommation par parties.
La formule-type est la suivante, où et sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et a et b deux réels de leur intervalle de définition :
ou encore, puisque et sont respectivement les différentielles de et de :
L'un des deux choix possibles pour les fonctions u et v' peut s'avérer meilleur que l'autre.
Si l'on choisit u = ln et v' (x) = x, on a u' (x) = 1/x et l'on peut prendre v(x) = x/2, d'où :
En revanche, si l'on choisit u(x) = x et v' = ln, on a u' = 1 et l'on peut prendre v(x) = xln(x) – x, d'où :
On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale, elle s'y ramène cependant puisque .
Effectuons le calcul degrâce à une intégration par parties.Pour cela, posons u(x) = x, de telle sorte que u' = 1, et v' = cos, de telle sorte que v = sin, par exemple ( à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires). Il vient :
Il s'agit de la méthode classique pour trouver une primitive du logarithme naturel :.
Une intégration par parties sur une intégrale impropre permet d'établir l'équation fonctionnelle de la fonction gamma.
Une double intégration par parties (l'intégrale obtenue par l'application de la formule se calcule elle aussi par une nouvelle intégration par parties) permet par exemple de montrer queet de même,,où le réel C est une constante d'intégration.
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