Projective hierarchy

In the mathematical field of descriptive set theory, a subset of a Polish space is projective if it is for some positive integer . Here is if is analytic if the complement of , , is if there is a Polish space and a subset such that is the projection of onto ; that is, The choice of the Polish space in the third clause above is not very important; it could be replaced in the definition by a fixed uncountable Polish space, say Baire space or Cantor space or the real line. There is a close relationship between the relativized analytical hierarchy on subsets of Baire space (denoted by lightface letters and ) and the projective hierarchy on subsets of Baire space (denoted by boldface letters and ). Not every subset of Baire space is . It is true, however, that if a subset X of Baire space is then there is a set of natural numbers A such that X is . A similar statement holds for sets. Thus the sets classified by the projective hierarchy are exactly the sets classified by the relativized version of the analytical hierarchy. This relationship is important in effective descriptive set theory. A similar relationship between the projective hierarchy and the relativized analytical hierarchy holds for subsets of Cantor space and, more generally, subsets of any effective Polish space.

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Concepts associés (3)

Pointclass

In the mathematical field of descriptive set theory, a pointclass is a collection of sets of points, where a point is ordinarily understood to be an element of some perfect Polish space. In practice, a pointclass is usually characterized by some sort of definability property; for example, the collection of all open sets in some fixed collection of Polish spaces is a pointclass. (An open set may be seen as in some sense definable because it cannot be a purely arbitrary collection of points; for any point in the set, all points sufficiently close to that point must also be in the set.

Théorie descriptive des ensembles

La théorie descriptive des ensembles est une branche des mathématiques s'intéressant aux ensembles « définissables ». Son principal but est de classifier ces ensembles par complexité. Elle a de nombreux liens avec la théorie des ensembles et a des applications dans de nombreux domaines. Historiquement, les premières questions de la théorie descriptive des ensembles sont apparues à la suite de la découverte d'une erreur par Mikhaïl Souslin en dans une démonstration de Lebesgue.

Théorie des ensembles

La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du . La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.