Surface de Seifert

vignette|Une surface de Seifert associée à un entrelacs. Ce dernier, en traits orangés épais, est formé par trois cercles : ce sont les anneaux borroméens. La surface possède deux faces, en blanc et bleu sur l'image. En mathématiques, la surface de Seifert est un concept issu de la théorie des nœuds associée à un nœud ou plus généralement à un entrelacs. Il s'agit d'une surface ayant l'entrelacs pour bord et vérifiant un certain nombre de propriétés additionnelles garantissant sa simplicité (surface connexe, compacte et à l'orientation compatible avec celle de l'entrelacs). Il est toujours possible de construire une telle surface, par exemple au moyen d'un algorithme proposé par Herbert Seifert. À un nœud ou un entrelacs donné peuvent être associées plusieurs surfaces de Seifert non équivalentes, mais ces surfaces constituent néanmoins un outil puissant d'analyse, permettant par exemple d'introduire certains invariants comme le genre d'un nœud et d'établir leurs propriétés. Une surface de Seifert adaptée à un entrelacs orienté est une surface connexe, compacte et orientée ayant l'entrelacs pour bord orienté. La surface doit être connexe, c'est-à-dire d'un seul tenant, alors même que son bord peut être lui même connexe (un nœud) ou au contraire réunion disjointe de nœuds. Elle doit être compacte, c'est-à-dire, en termes imagés, bornée et non percée. Elle doit également être orientable, ce qui exclut par exemple le ruban de Möbius. Elle possède donc deux faces et une orientation compatible avec celle du bord. Réciproquement, toute surface compacte, connexe, orientée à bord non vide fournit un exemple d'entrelacs et de surface de Seifert associée. Dans certains cas on peut avoir une appréhension visuelle directe d'une surface de Seifert à partir d'un diagramme : en hachurant à la manière d'un échiquier la moitié des différentes zones du plan délimitées par le diagramme, on peut ajouter mentalement de l'épaisseur à la figure en remplaçant les croisements par des bandes ayant subi une torsion d'un demi-tour.