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Concept
Nœud (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie et en topologie algébrique, un nœud est un plongement d'un cercle dans R, l'espace euclidien de dimension 3, considéré à des déformations continues près. Une différence essentielle entre les nœuds usuels et les nœuds mathématiques est que ces derniers sont fermés (sans extrémités permettant de les nouer ou de les dénouer) ; les propriétés physiques des nœuds réels, telles que la friction ou l'épaisseur des cordes, sont généralement également négligées. Plus généralement, on parle aussi de nœud pour des plongements de dans , tout particulièrement dans le cas . L'étude des nœuds mathématiques s'appelle la théorie des nœuds.
vignette|62 Nœud
Le nœud le plus simple, appelé le nœud trivial (ou le non-nœud, unknot en anglais), est le cercle ordinaire du plan, considéré comme plongé isométriquement dans R.
Plus généralement, un nœud trivial est une courbe fermée simple de R qui est le bord d'une surface
homéomorphe
à un disque.
Au sens usuel, le nœud trivial n'est pas noué du tout. Les nœuds non triviaux les plus simples sont le nœud de trèfle (noté 31 dans la table ci-dessus), le nœud en huit (41) et le nœud en étoile(51).
Un ensemble de nœuds, éventuellement enchevêtrés, s'appelle un entrelacs (bien qu'il existe des terminologies différentes, telle que celle de nœud borroméen). Les nœuds sont des entrelacs n'ayant qu'une composante.
Les mathématiciens préfèrent souvent considérer les nœuds comme plongés dans la 3-sphère, , plutôt que dans R, la 3-sphère étant un espace compact, équivalent à l'adjonction à R d'un point unique à l'infini (voir compactifié d'Alexandroff).
Un nœud est lisse, ou régulier (tame, en anglais), s'il peut être « épaissi », c'est-à-dire si on peut le prolonger en un plongement du , S×D, dans la 3-sphère. Un nœud est lisse si et seulement s'il peut être représenté par une ligne brisée fermée. Les nœuds non lisses sont dits sauvages (wild, en anglais) et peuvent avoir des propriétés pathologiques.
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