Cantor's first set theory articleCantor's first set theory article contains Georg Cantor's first theorems of transfinite set theory, which studies infinite sets and their properties. One of these theorems is his "revolutionary discovery" that the set of all real numbers is uncountably, rather than countably, infinite. This theorem is proved using Cantor's first uncountability proof, which differs from the more familiar proof using his diagonal argument.
Categorical theoryIn mathematical logic, a theory is categorical if it has exactly one model (up to isomorphism). Such a theory can be viewed as defining its model, uniquely characterizing the model's structure. In first-order logic, only theories with a finite model can be categorical. Higher-order logic contains categorical theories with an infinite model. For example, the second-order Peano axioms are categorical, having a unique model whose domain is the set of natural numbers In model theory, the notion of a categorical theory is refined with respect to cardinality.
ForcingEn mathématiques, et plus précisément en logique mathématique, le forcing est une technique inventée par Paul Cohen pour prouver des résultats de cohérence et d'indépendance en théorie des ensembles. Elle a été utilisée pour la première fois en 1962 pour prouver l'indépendance de l'hypothèse du continu vis-à-vis de la théorie ZFC. Combinée avec la technique des modèles de permutation de Fraenkel-Mostowski-Specker, elle a permis également d'établir l'indépendance de l'axiome du choix relativement à ZF.
Structure (logique mathématique)En logique mathématique, plus précisément en théorie des modèles, une structure est un ensemble muni de fonctions et de relations définies sur cet ensemble. Les structures usuelles de l'algèbre sont des structures en ce sens. On utilise également le mot modèle comme synonyme de structure (voir Note sur l'utilisation du mot modèle). La sémantique de la logique du premier ordre se définit dans une structure.
Fondements des mathématiquesLes fondements des mathématiques sont les principes de la philosophie des mathématiques sur lesquels est établie cette science. Le logicisme a été prôné notamment par Gottlob Frege et Bertrand Russell. La mathématique pure présente deux caractéristiques : la généralité de son discours et la déductibilité du discours mathématique . En ce que le discours mathématique ne prétend qu’à une vérité formelle, il est possible de réduire les mathématiques à la logique, les lois logiques étant les lois du « vrai ».
Nombre réelEn mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.
Second-order logicIn logic and mathematics, second-order logic is an extension of first-order logic, which itself is an extension of propositional logic. Second-order logic is in turn extended by higher-order logic and type theory. First-order logic quantifies only variables that range over individuals (elements of the domain of discourse); second-order logic, in addition, also quantifies over relations. For example, the second-order sentence says that for every formula P, and every individual x, either Px is true or not(Px) is true (this is the law of excluded middle).
