Concept

Principe de maximalité de Hausdorff

Résumé

En mathématiques, le principe de maximalité de Hausdorff est une formulation différente du lemme de Zorn précédant celui-ci et prouvée par Felix Hausdorff en 1914 (Moore 1982:168). Il indique que, dans tout ensemble partiellement ordonné, tout sous-ensemble totalement ordonné est contenu dans un sous-ensemble maximal totalement ordonné. Le principe de maximalité de Hausdorff est l'un des nombreux énoncés équivalents à l'axiome du choix sur ZF (théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel sans l'axiome du choix). Ce principe est aussi appelé le théorème de maximalité de Hausdorff ou le lemme de Kuratowski (Kelley 1955:33). Le principe de maximalité de Hausdorff stipule que, dans un ensemble partiellement ordonné, tout sous-ensemble totalement ordonné est contenu dans un sous-ensemble maximal totalement ordonné. Ici, un sous-ensemble maximal totalement ordonné est un sous-ensemble qui, si on lui ajoute un élément quelconque, ne reste pas totalement ordonné. L'ensemble maximal désigné par le principe n'est pas unique en général : il peut y avoir de nombreux sous-ensembles maximaux totalement ordonnés contenant un sous-ensemble totalement ordonné. Une forme équivalente de ce principe est que dans tout ensemble partiellement ordonné, il existe un sous-ensemble maximal totalement ordonné. Pour démontrer que cela découle de la forme originale, on pose A un ensemble partiellement ordonné. Alors est un sous-ensemble totalement ordonné de A, donc il existe un sous-ensemble maximal totalement ordonné contenant . En particulier, A contient un sous-ensemble maximal totalement ordonné. Pour la démonstration dans le sens inverse, on pose A un ensemble partiellement ordonné et T un sous-ensemble de A totalement ordonné. Alors est partiellement ordonné par l'inclusion donc il contient un sous-ensemble maximal totalement ordonné, noté P. L'ensemble satisfait aux propriétés souhaitées. La preuve que le principe de maximalité de Hausdorff est équivalent au lemme de Zorn est très similaire à celle-ci. EXEMPLE 1.

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_de_maximalité_de_Hausdorff

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.