T-norm fuzzy logics

T-norm fuzzy logics are a family of non-classical logics, informally delimited by having a semantics that takes the real unit interval [0, 1] for the system of truth values and functions called t-norms for permissible interpretations of conjunction. They are mainly used in applied fuzzy logic and fuzzy set theory as a theoretical basis for approximate reasoning. T-norm fuzzy logics belong in broader classes of fuzzy logics and many-valued logics. In order to generate a well-behaved implication, the t-norms are usually required to be left-continuous; logics of left-continuous t-norms further belong in the class of substructural logics, among which they are marked with the validity of the law of prelinearity, (A → B) ∨ (B → A). Both propositional and first-order (or higher-order) t-norm fuzzy logics, as well as their expansions by modal and other operators, are studied. Logics that restrict the t-norm semantics to a subset of the real unit interval (for example, finitely valued Łukasiewicz logics) are usually included in the class as well. Important examples of t-norm fuzzy logics are monoidal t-norm logic (MTL) of all left-continuous t-norms, basic logic (BL) of all continuous t-norms, product fuzzy logic of the product t-norm, or the nilpotent minimum logic of the nilpotent minimum t-norm. Some independently motivated logics belong among t-norm fuzzy logics, too, for example Łukasiewicz logic (which is the logic of the Łukasiewicz t-norm) or Gödel–Dummett logic (which is the logic of the minimum t-norm). As members of the family of fuzzy logics, t-norm fuzzy logics primarily aim at generalizing classical two-valued logic by admitting intermediary truth values between 1 (truth) and 0 (falsity) representing degrees of truth of propositions. The degrees are assumed to be real numbers from the unit interval [0, 1]. In propositional t-norm fuzzy logics, propositional connectives are stipulated to be truth-functional, that is, the truth value of a complex proposition formed by a propositional connective from some constituent propositions is a function (called the truth function of the connective) of the truth values of the constituent propositions.

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Monoidal t-norm logic

In mathematical logic, monoidal t-norm based logic (or shortly MTL), the logic of left-continuous t-norms, is one of the t-norm fuzzy logics. It belongs to the broader class of substructural logics, or logics of residuated lattices; it extends the logic of commutative bounded integral residuated lattices (known as Höhle's monoidal logic, Ono's FLew, or intuitionistic logic without contraction) by the axiom of prelinearity. In fuzzy logic, rather than regarding statements as being either true or false, we associate each statement with a numerical confidence in that statement.

Logique de Łukasiewicz

En mathématique, la logique de Łukasiewicz est une logique polyvalente, non-classique. Elle a été définie à l'origine au début du par Jan Łukasiewicz comme une logique ternaire; elle a ensuite été généralisé à n-valeur (pour tous n fini) ainsi qu'à une infinité de variante à valeurs multiples, les deux sont propositionnelle et du premier ordre. La version א0-valeur a été publié en 1930 par Łukasiewicz et Alfred Tarski; par conséquent, elle est parfois appelé la logique de Łukasiewicz-Tarski.

T-norm

In mathematics, a t-norm (also T-norm or, unabbreviated, triangular norm) is a kind of binary operation used in the framework of probabilistic metric spaces and in multi-valued logic, specifically in fuzzy logic. A t-norm generalizes intersection in a lattice and conjunction in logic. The name triangular norm refers to the fact that in the framework of probabilistic metric spaces t-norms are used to generalize the triangle inequality of ordinary metric spaces.

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