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Concept
Ensemble infini
Résumé
En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun moyen de « compter » les éléments de cet ensemble à l'aide d'un ensemble borné d'entiers. Un ensemble en bijection avec un ensemble infini est donc infini.
Tout ensemble contenant un ensemble dénombrable est infini.
Dans la théorie de Zermelo (Z), l'axiome de l'infini permet de construire l'ensemble N des entiers naturels, qui est alors un ensemble infini. Avec les seuls autres axiomes de ZFC, on ne peut montrer l'existence d'ensembles infinis.
Dans la théorie Z, tout ensemble infini au sens de Dedekind est infini (au sens usuel). Dans ZF (sans axiome du choix), la réciproque n'est pas démontrable. Elle le devient si on ajoute l'axiome du choix (ZFC), et l'axiome du choix dénombrable suffit :
On peut montrer que l'équivalence entre « infini » et « infini au sens de Dedekind » est plus faible que l'axiome du choix dénombrable, au sens où, en supposant que la théorie ZF est cohérente, il existe un modèle de la théorie des ensembles ZF où tout ensemble infini est infini au sens de Dedekind, mais qui ne satisfait pas l'axiome du choix dénombrable.
Pour plus de détails, voir l'article .
En présence de l'axiome du choix, l'arithmétique des cardinaux infinis se simplifie notablement. En particulier :
la réunion disjointe de deux ensembles dont l'un est infini est équipotente à celui d'entre eux de plus grand cardinal, c'est-à-dire que, si λ et μ sont deux cardinaux dont l'un est infini :
λ + μ = sup(λ,μ) ;
le produit cartésien de deux ensembles dont l'un est infini et l'autre non vide est équipotent à celui d'entre eux de plus grand cardinal, c'est-à-dire que, si λ et μ sont deux cardinaux dont l'un est non nul et l'autre infini :
λ • μ = sup(λ,μ) ;
en particulier tout ensemble infini est équipotent à son carré cartésien, c'est-à-dire que si λ est infini :
λ2 = λ.
Ce dernier résultat a pour conséquence les deux précédents par le théorème de Cantor-Bernstein.
Source officielle
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