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Concept
Fonction point d'interrogation
Résumé
La fonction point d'interrogation, ou fonction de Minkowski, est, en mathématiques, une fonction, notée ? (ou ).
Cette fonction fut définie par Hermann Minkowski en 1904 afin d'obtenir une application continue de l'ensemble des irrationnels quadratiques de l'intervalle ]0, 1[ vers l'ensemble des nombres rationnels du même intervalle. La définition courante actuelle fut posée par Arnaud Denjoy en 1938. Sa restriction aux nombres rationnels est une fonction strictement croissante, dérivable, et de dérivée partout nulle.
Soit x un nombre réel.
Si x est rationnel, il a deux représentations en fraction continue (finie) : x = [a, a, ..., a] = [a, a, ..., a-1, 1] où a est au moins égal à 2. On pose alors :
On peut expliciter cette expression en calculant la somme et en exprimant le résultat sous forme de développement en base 2 d'un nombre inférieur à 1 ; en utilisant la notation pour le nombre on obtient :
Si x est irrationnel, il a une unique représentation en fraction continue (infinie) : x = [a, a, ...]. On pose alors :
somme d'une série convergente. Ici aussi, en réécrivant la somme sous forme de nombre binaire on obtient une expression simple :
Pour un entier, son développement en fraction continue se résume à :
24/17 est un rationnel :
d'où
est un irrationnel :
d'où
Il s'agit d'une fonction uniformément continue, strictement croissante, impaire et vérifiant sur l'ensemble des nombres réels l'équation fonctionnelle ?(x+1) = ?(x) + 1. Elle est singulière, ce qui signifie que de plus elle est dérivable presque partout et de dérivée nulle presque partout; en particulier elle est dérivable, de dérivée nulle sur les rationnels. Par conséquent elle n'est pas absolument continue.
L'image de l'ensemble des rationnels par cette fonction est l'ensemble des rationnels dyadiques, et, du fait de la caractérisation des nombres algébriques quadratiques par la périodicité de leur développement en fraction continue, l'image de l'ensemble des irrationnels quadratiques est l'ensemble des rationnels non dyadiques.
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