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Concept
Escalier de Cantor
Résumé
L'escalier de Cantor, ou l'escalier du diable, est le graphe d'une fonction f continue croissante sur [0, 1], telle que f(0) = 0 et f(1) = 1, qui est dérivable presque partout, la dérivée étant presque partout nulle. Il s'agit cependant d'une fonction continue, mais pas absolument continue.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I ⊂ R, de dérivée math|f '''. Si f ' est nulle sur I, alors f est constante. C'est une conséquence immédiate du théorème des accroissements finis.
L'escalier de Cantor montre que la conclusion est fausse si l'on suppose seulement que math|f ' s'annule presque partout.
On dispose cependant des résultats suivants :
si f est continue et si sa dérivée existe et s'annule sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable, alors f est constante (d'après le lemme de Cousin ou l'inégalité des accroissements finis) ;
si f est lipschitzienne (ou plus généralement : absolument continue) et si sa dérivée existe et s'annule presque partout, alors f est constante (cf. § « Fonction lipschitzienne à dérivée nulle presque partout » de l'article sur le lemme de Cousin) ;
si la dérivée faible de f est nulle, alors f est constante.
On suit pas à pas la construction de l'ensemble de Cantor K.
On prend f(x) = x. La fonction f est la fonction continue affine par morceaux qui vaut 0 en 0, 1 en 1, et 1/2 sur .
On passe de même de f à f en remplaçant f, sur chaque intervalle [u, v] où elle n'est pas constante, par la fonction continue affine par morceaux qui vaut sur le tiers central de l'intervalle [u, v].
Alors on vérifie que pour tout , ce qui montre que la série de fonctions converge uniformément, et donc que la suite f converge uniformément. La fonction limite f est continue, monotone, et l'on a f(0) = 0 et f(1) = 1 comme annoncé. De plus, f a une dérivée nulle sur le complémentaire de l'ensemble de Cantor K, puisque ce complémentaire est une réunion d'intervalles sur lesquels f, par construction, est constante (d'où le nom d'escalier !)
Il est vrai (cf.
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