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Concept
Bijection réciproque
Résumé
En mathématiques, la bijection réciproque (ou fonction réciproque ou réciproque) d'une bijection est l'application qui associe à chaque élément de l'ensemble d'arrivée son unique antécédent par . Elle se note .
On considère l'application de vers définie par .
Pour chaque réel y, il y a un et un seul réel x tel que , ainsi pour = 8, le seul convenable est 2, en revanche, pour = –27 c'est –3. En termes mathématiques, on dit que est l'unique antécédent de et que est une bijection.
On peut alors considérer l'application qui envoie sur son antécédent, qu'on appelle dans cet exemple la racine cubique de : c'est elle qu'on nomme la « réciproque » de la bijection .
Si on tente d'effectuer la même construction pour la racine carrée et qu'on considère l'application g de vers définie par , les choses ne se passent pas si simplement. En effet, pour certaines valeurs de , il y a deux valeurs de tels que ; ainsi, pour = 4, on peut choisir = 2 mais aussi = –2, puisque 2 = 4 mais aussi (–2) = 4.
À l'inverse, pour d'autres choix de , aucun ne convient ; ainsi pour = –1, l'équation n'a aucune solution réelle. En termes mathématiques, on dit que n'est ni injective ni surjective. Dans cet exemple, les définitions qui suivent ne permettent pas de parler de « bijection réciproque » (ni même d'« application réciproque ») de .
Si est une bijection d'un ensemble vers un ensemble , cela veut dire (par définition des bijections) que tout élément de possède un antécédent et un seul par . On peut donc définir une application allant de vers , qui à associe son unique antécédent, c'est-à-dire que .
L'application est une bijection, appelée bijection réciproque de .
De façon plus générale, et en utilisant les notations fonctionnelles, si est une application d'un ensemble vers un ensemble et s'il existe une application de vers telle que et , alors et sont des bijections, et est la bijection réciproque de .
La bijection réciproque de est souvent notée , en prenant garde à la confusion possible avec la notation des exposants négatifs, pour laquelle on a .
Source officielle
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