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Concept
Bijection
Résumé
En mathématiques, une bijection ou application bijective (parfois appelée correspondances biunivoques) est une application qui est à la fois injective et surjective, autrement dit pour laquelle tout élément de son ensemble d'arrivée possède un et un seul antécédent.
Une propriété des bijections est que s'il existe une bijection f d'un ensemble E dans un ensemble F alors il existe une bijection réciproque de F dans E qui à chaque élément de F associe son antécédent par f. Les deux ensembles sont dits en bijection, ou équipotents.
Cantor a le premier démontré que s'il existe une injection de E vers F et une injection de F vers E (non nécessairement surjectives), alors E et F sont équipotents (c'est le théorème de Cantor-Bernstein).
Si deux ensembles finis sont équipotents alors ils ont le même nombre d'éléments. L'extension de cette équivalence aux ensembles infinis a mené au concept de cardinal d'un ensemble, et à distinguer différentes tailles d'ensembles infinis, qui sont des classes d'équipotence. Ainsi, on peut par exemple montrer que l'ensemble des entiers naturels est de même taille que l'ensemble des rationnels, mais de taille strictement inférieure à l'ensemble des réels. En effet, de dans il existe des injections mais pas de surjection.
Une application est bijective si tout élément de l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent (dans ) par , ce qui s'écrit formellement :
ou, ce qui est équivalent, s'il existe une application qui, composée à gauche ou à droite par , donne l'application identité :
et ,
c'est-à-dire:
Une telle application est alors déterminée de manière unique par . On l'appelle la bijection réciproque de et on la note . C'est aussi une bijection, et sa réciproque est .
Une bijection de dans est une relation binaire de dans qui est une application et dont la relation réciproque est aussi une application.
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