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Concept
Problème de Burnside
Résumé
En mathématiques, le problème de Burnside est l'une des questions les plus anciennes et qui a eu le plus d'influence en théorie des groupes. En 1902, William Burnside demanda si un groupe de torsion de type fini est nécessairement fini. Cette conjecture fut réfutée soixante ans plus tard, ainsi que sa variante « bornée », tandis que sa variante « restreinte » a été démontrée, plus récemment, par Efim Zelmanov. De nombreux problèmes sur ces sujets sont encore ouverts aujourd'hui.
Dans l'article décrivant sa conjecture, Burnside traite le cas où le groupe est non seulement de torsion mais d'exposant fini n égal à 2 ou 3, ainsi que le cas où n est égal à 4 et où le groupe est engendré par deux éléments (en fait, un groupe G de type fini tel que l'ordre de tout élément de G est un diviseur de 4 est toujours fini, quel que soit le nombre de ses générateurs). En 1905, il démontre que tout sous-groupe d'exposant fini du groupe linéaire est fini. En 1911, Issai Schur prouve que tout sous-groupe de torsion de type fini de GL(n, C) est fini, et précise sa structure par le théorème de Jordan-Schur.
Cependant, la conjecture générale de Burnside est réfutée en 1964 par Evgeny Golod et Igor Shafarevich. En 1968, Piotr Novikov et Sergueï Adian réfutent même la version bornée. En 1982, A. Yu. Ol'shanskii trouve quelques contre-exemples saisissants pour des exposants impairs suffisamment grands (plus grands que 10) et fournit une preuve considérablement plus simple basée sur des idées géométriques.
Le cas des exposants pairs s'est révélé beaucoup plus difficile à traiter. Sergei Vasilievich Ivanov a annoncé en 1992 et publié en 1994 des contre-exemples pour les exposants pairs suffisamment grands et divisibles par une grande puissance de 2, puis a fourni, avec Ol'shanskii, une solution négative à un problème analogue à celui de Burnside pour les groupes hyperboliques, pourvu que l'exposant soit suffisamment grand. À l'opposé, quand l'exposant est petit mais différent de 2, 3, 4 et 6, on sait très peu de choses.
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