Problème de Burnside

En mathématiques, le problème de Burnside est l'une des questions les plus anciennes et qui a eu le plus d'influence en théorie des groupes. En 1902, William Burnside demanda si un groupe de torsion de type fini est nécessairement fini. Cette conjecture fut réfutée soixante ans plus tard, ainsi que sa variante « bornée », tandis que sa variante « restreinte » a été démontrée, plus récemment, par Efim Zelmanov. De nombreux problèmes sur ces sujets sont encore ouverts aujourd'hui. Dans l'article décrivant sa conjecture, Burnside traite le cas où le groupe est non seulement de torsion mais d'exposant fini n égal à 2 ou 3, ainsi que le cas où n est égal à 4 et où le groupe est engendré par deux éléments (en fait, un groupe G de type fini tel que l'ordre de tout élément de G est un diviseur de 4 est toujours fini, quel que soit le nombre de ses générateurs). En 1905, il démontre que tout sous-groupe d'exposant fini du groupe linéaire est fini. En 1911, Issai Schur prouve que tout sous-groupe de torsion de type fini de GL(n, C) est fini, et précise sa structure par le théorème de Jordan-Schur. Cependant, la conjecture générale de Burnside est réfutée en 1964 par Evgeny Golod et Igor Shafarevich. En 1968, Piotr Novikov et Sergueï Adian réfutent même la version bornée. En 1982, A. Yu. Ol'shanskii trouve quelques contre-exemples saisissants pour des exposants impairs suffisamment grands (plus grands que 10) et fournit une preuve considérablement plus simple basée sur des idées géométriques. Le cas des exposants pairs s'est révélé beaucoup plus difficile à traiter. Sergei Vasilievich Ivanov a annoncé en 1992 et publié en 1994 des contre-exemples pour les exposants pairs suffisamment grands et divisibles par une grande puissance de 2, puis a fourni, avec Ol'shanskii, une solution négative à un problème analogue à celui de Burnside pour les groupes hyperboliques, pourvu que l'exposant soit suffisamment grand. À l'opposé, quand l'exposant est petit mais différent de 2, 3, 4 et 6, on sait très peu de choses.

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Concepts associés (7)

Séances de cours associées (3)

Structure locale des groupes compacts locaux totalement déconnectés I

Couvre la structure locale de groupes compacts locaux totalement déconnectés, explorant propriétés et applications.

Problème caché du sous-groupe et Simon Algorithm CS-308: Quantum computation

Explore le problème caché du sous-groupe et l'algorithme Simon dans le calcul quantique.

Groupes autosimilaires II

Explore des groupes auto-similaires agissant sur des arbres enracinés et leurs propriétés.

In mathematics, a matrix group is a group G consisting of invertible matrices over a specified field K, with the operation of matrix multiplication. A linear group is a group that is isomorphic to a matrix group (that is, admitting a faithful, finite-dimensional representation over K). Any finite group is linear, because it can be realized by permutation matrices using Cayley's theorem. Among infinite groups, linear groups form an interesting and tractable class.

La théorie géométrique des groupes est un domaine des mathématiques pour l'étude des groupes de type fini à travers les connexions entre les propriétés algébriques de ces groupes et les propriétés topologiques et géométriques des espaces sur lesquels ils opèrent. Les groupes sont vus comme des ensembles de symétries ou d'applications continues sur ces espaces. Une autre idée importante de la théorie géométrique des groupes est de considérer les groupes de type fini eux-mêmes comme des objets géométriques, généralement via le graphe de Cayley du groupe étudié.