Groupe hyperbolique

En théorie géométrique des groupes — une branche des mathématiques — un groupe hyperbolique, ou groupe à courbure négative, est un groupe de type fini muni d'une métrique des mots vérifiant certaines propriétés caractéristiques de la géométrie hyperbolique. Cette notion a été introduite et développée par Mikhaïl Gromov au début des années 1980. Il avait remarqué que beaucoup de résultats de Max Dehn concernant le groupe fondamental d'une surface de Riemann hyperbolique ne reposaient pas sur le fait qu'elle soit de 2 ni même que ce soit une variété, mais restaient vrais dans un contexte beaucoup plus général. Dans un article de 1987 qui eut beaucoup de répercussions, Gromov proposa un vaste programme de recherche. Les idées et les ingrédients de base de la théorie viennent aussi du travail de George Mostow, William Thurston, , Eliyahu Rips et bien d'autres. Il y a plusieurs manières de définir les groupes hyperboliques. Beaucoup d'entre elles utilisent le graphe de Cayley du groupe et définissent d'abord, pour toute constante δ > 0, une notion de groupe δ-hyperbolique ; un groupe hyperbolique est alors défini comme un groupe qui est δ-hyperbolique pour un certain δ. On passe d'une définition à l'autre en changeant si nécessaire la valeur de δ, mais les diverses définitions de groupe hyperbolique sont équivalentes. Soient G un groupe engendré par un ensemble fini S et T son graphe de Cayley relativement à S. On munit T d'une distance géodésique pour laquelle chaque arête est isométrique à l'intervalle réel unité. Le groupe G agit naturellement sur T par isométries et de façon simplement transitive sur les sommets. La première approche de l'hyperbolicité est basée sur la notion de triangle fin et est généralement attribuée à Rips. Dans tout espace métrique, un chemin d'un point x à un point y de longueur minimum est appelé segment géodésique et noté [x,y] ; un triangle géodésique est constitué de trois points x, y, z — ses sommets — et de trois segments géodésiques [x,y], [y,z] et [z,x] — ses côtés.