In mathematics, an implicit surface is a surface in Euclidean space defined by an equation
An implicit surface is the set of zeros of a function of three variables. Implicit means that the equation is not solved for x or y or z.
The graph of a function is usually described by an equation and is called an explicit representation. The third essential description of a surface is the parametric one:
where the x-, y- and z-coordinates of surface points are represented by three functions depending on common parameters . Generally the change of representations is simple only when the explicit representation is given: (implicit), (parametric).
Examples:
The plane
The sphere
The torus
A surface of genus 2: (see diagram).
The surface of revolution (see diagram wineglass).
For a plane, a sphere, and a torus there exist simple parametric representations. This is not true for the fourth example.
The implicit function theorem describes conditions under which an equation can be solved (at least implicitly) for x, y or z. But in general the solution may not be made explicit. This theorem is the key to the computation of essential geometric features of a surface: tangent planes, surface normals, curvatures (see below). But they have an essential drawback: their visualization is difficult.
If is polynomial in x, y and z, the surface is called algebraic. Example 5 is non-algebraic.
Despite difficulty of visualization, implicit surfaces provide relatively simple techniques to generate theoretically (e.g. Steiner surface) and practically (see below) interesting surfaces.
Throughout the following considerations the implicit surface is represented by an equation
where function meets the necessary conditions of differentiability. The partial derivatives of
are .
A surface point is called regular if and only if the gradient of at is not the zero vector , meaning
If the surface point is not regular, it is called singular.
The equation of the tangent plane at a regular point is
and a normal vector is
In order to keep the formula simple the arguments are omitted:
is the normal curvature of the surface at a regular point for the unit tangent direction .
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vignette|implicit surface torus (R=40, a=15) vignette|implicit surface of genus 2 150px|vignette|implicit non algebraic surface (wineglas) vignette|equipotential surface of 4 point charges 400px|vignette|metamorphoses between two implicit surfaces (torus and a constant distance product surface) 240px|vignette|approximation of three tori (parallel projection) 280px|vignette|PovRay-image (central projection) of an approximation of three tori 400px|vignette|PovRay-Bild: metamorphoses between a sphere and a cons
En géométrie analytique, on représente les surfaces, c'est-à-dire les ensembles de points sur lequel il est localement possible de se repérer à l'aide de deux coordonnées réelles, par des relations entre les coordonnées de leurs points, qu'on appelle équations de la surface ou par des représentations paramétriques. Cet article étudie les propriétés des surfaces que cette approche (appelée souvent extrinsèque) permet de décrire. Pour des résultats plus approfondis, voir Géométrie différentielle des surfaces.
On peut considérer une isosurface comme l'analogue en 3D d'une courbe de niveau. C'est en fait le lieu des points de l'espace pour lesquels une certaine fonction (par exemple la pression, la température, la vitesse, la densité, etc.) est constante. En d'autres termes, c'est la courbe de niveau d'une fonction continue dont le domaine est l'espace ambiant.
Explique les points réguliers sur les surfaces implicites et leur relation avec les gradients et les plans tangents.
Explique les normales de surface pour les surfaces paramétriques et implicites, en se concentrant sur l'analyse vectorielle et des exemples avec des sphères.
Couvre les définitions et les caractéristiques des cônes et des cylindres en tant que surfaces régies par des lignes de génération.