En mathématiques, la catégorie des anneaux est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés des anneaux en algèbre. Dans ce contexte, « anneau » signifie toujours anneau unitaire. La catégorie des anneaux, notée Ring, est la catégorie définie ainsi : Les objets sont les anneaux ; Les morphismes sont les morphismes d'anneaux, avec la composition usuelle, et l'identité est la fonction identité sur un anneau donné. La sous-catégorie pleine de Ring, dont les objets sont les anneaux commutatifs, forme la catégorie des anneaux commutatifs, notée CRing. Il s'agit d'une : en effet, tout anneau peut être rendu commutatif en prenant son quotient par l'idéal engendré par les éléments de la forme ab - ba. Cette opération définit un foncteur qui est adjoint à gauche au foncteur d'inclusion La catégorie CRing est close par limites (mais pas par les colimites). En géométrie algébrique, un résultat fondamental est qu'il y a une équivalence de catégories entre la catégorie opposée à CRing et la catégorie Aff des schémas affines, qui correspond au foncteur Spec : Un anneau est un monoïde dans la catégorie des groupes abéliens. On peut définir de manière naturelle les foncteurs d'oubli (oubli de la structure multiplicative) (oubli de la structure additive) Le foncteur A admet un adjoint à gauche qui associe à tout groupe abélien G l'anneau tensoriel T(G). Le foncteur M admet un adjoint à gauche qui à tout monoïde N associe l'anneau de monoïde . En oubliant simultanément les deux structures, on obtient le foncteur d'oubli dans la catégorie des ensembles. Ce foncteur admet un adjoint à gauche F qui à tout ensemble associe l'anneau librement engendré par les éléments de cet ensemble. Ring est localement petite, mais ce n'est pas une petite catégorie ; Ring est une catégorie concrète ; Ring est une catégorie complète et cocomplète ; Ring est une catégorie monoïdale tressée, avec le produit tensoriel comme produit monoïdal et comme unité ; Ring n'est ni préadditive, ni additive, ni abélienne car elle n'admet pas d'objet zéro ; Un monoïde sur Ring est un anneau commutatif, c'est le ; L'objet initial est l'anneau des entiers relatifs ; L' et l'objet terminal est l'anneau trivial 1 ; Ring n'a pas d'objet zéro.

À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Cours associés (32)
MATH-436: Homotopical algebra
This course will provide an introduction to model category theory, which is an abstract framework for generalizing homotopy theory beyond topological spaces and continuous maps. We will study numerous
MATH-215: Algebra III - rings and fields
C'est un cours introductoire dans la théorie d'anneau et de corps.
MATH-211: Algebra II - groups
This course deals with group theory, with particular emphasis on group actions and notions of category theory.
Afficher plus
Publications associées (40)
Concepts associés (39)
Anneau nul
En mathématiques, on appelle anneau nul ou anneau trivial l'anneau A réduit au singleton . On a : Cet anneau est commutatif. Son élément neutre pour la multiplication, noté habituellement 1A dans un anneau quelconque, est ici égal à 0A, l'élément neutre pour l'addition. Réciproquement, le seul anneau A vérifiant 1A = 0A est l'anneau nul puisqu'alors, pour tout élément de A, on a : L'anneau nul est l'objet final dans la catégorie des anneaux unitaires (i.e.
Pseudo-anneau
En mathématiques, un pseudo-anneau est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication qui vérifient les mêmes axiomes que celles d'un anneau, à ceci près qu'on n'exige pas la présence d'un élément neutre pour la multiplication. Une minorité d'auteurs ne demandent pas aux anneaux d'avoir un neutre multiplicatif ; si l'on se réfère à leurs conventions, le présent article traite donc de ce qu'ils appellent des anneaux.
Produit tensoriel d'algèbres
En mathématique, le produit tensoriel de deux algèbres est une nouvelle algèbre. Soit un anneau commutatif. Soient deux -algèbres (non nécessairement commutatives). Leur structure de -algèbres est donnée par deux morphismes et . On peut les considérer comme des -modules et construire le produit tensoriel . Lorsque et commutent à , c'est-à-dire lorsque pour tout , on a et , on montre qu'il existe une loi de composition interne sur ce produit tensoriel uniquement déterminée par la règle pour tous et .
Afficher plus

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.