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Concept
Catégorie des anneaux
Résumé
En mathématiques, la catégorie des anneaux est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés des anneaux en algèbre. Dans ce contexte, « anneau » signifie toujours anneau unitaire.
La catégorie des anneaux, notée Ring, est la catégorie définie ainsi :
Les objets sont les anneaux ;
Les morphismes sont les morphismes d'anneaux, avec la composition usuelle, et l'identité est la fonction identité sur un anneau donné.
La sous-catégorie pleine de Ring, dont les objets sont les anneaux commutatifs, forme la catégorie des anneaux commutatifs, notée CRing. Il s'agit d'une : en effet, tout anneau peut être rendu commutatif en prenant son quotient par l'idéal engendré par les éléments de la forme ab - ba. Cette opération définit un foncteur
qui est adjoint à gauche au foncteur d'inclusion
La catégorie CRing est close par limites (mais pas par les colimites).
En géométrie algébrique, un résultat fondamental est qu'il y a une équivalence de catégories entre la catégorie opposée à CRing et la catégorie Aff des schémas affines, qui correspond au foncteur Spec :
Un anneau est un monoïde dans la catégorie des groupes abéliens. On peut définir de manière naturelle les foncteurs d'oubli
(oubli de la structure multiplicative)
(oubli de la structure additive)
Le foncteur A admet un adjoint à gauche qui associe à tout groupe abélien G l'anneau tensoriel T(G). Le foncteur M admet un adjoint à gauche qui à tout monoïde N associe l'anneau de monoïde .
En oubliant simultanément les deux structures, on obtient le foncteur d'oubli
dans la catégorie des ensembles. Ce foncteur admet un adjoint à gauche F qui à tout ensemble associe l'anneau librement engendré par les éléments de cet ensemble.
Ring est localement petite, mais ce n'est pas une petite catégorie ;
Ring est une catégorie concrète ;
Ring est une catégorie complète et cocomplète ;
Ring est une catégorie monoïdale tressée, avec le produit tensoriel comme produit monoïdal et comme unité ;
Ring n'est ni préadditive, ni additive, ni abélienne car elle n'admet pas d'objet zéro ;
Un monoïde sur Ring est un anneau commutatif, c'est le ;
L'objet initial est l'anneau des entiers relatifs ;
L' et l'objet terminal est l'anneau trivial 1 ;
Ring n'a pas d'objet zéro.
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