Pseudo-anneau

En mathématiques, un pseudo-anneau est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication qui vérifient les mêmes axiomes que celles d'un anneau, à ceci près qu'on n'exige pas la présence d'un élément neutre pour la multiplication. Une minorité d'auteurs ne demandent pas aux anneaux d'avoir un neutre multiplicatif ; si l'on se réfère à leurs conventions, le présent article traite donc de ce qu'ils appellent des anneaux. Il est possible d'ajouter une unité à un anneau qui en est dépourvu, ceci de plusieurs façons. Dans une certaine mesure, ces techniques permettent d'utiliser la théorie des anneaux unitaires pour traiter de questions concernant les pseudo-anneaux. Tous les anneaux (unitaires) sont a fortiori des pseudo-anneaux. L'ensemble 2Z des entiers relatifs pairs est un pseudo-anneau qui n'est pas un anneau. Un pseudo-anneau de carré nul A est un pseudo-anneau dans lequel le produit de deux éléments vaut toujours 0. Un pseudo-anneau de carré nul qui est par ailleurs unitaire est forcément réduit à l'anneau nul. Tout groupe abélien (A, +) peut être muni d'une structure de pseudo-anneau de carré nul en posant xy = 0 pour tous x et y de A. L'ensemble des matrices à coefficients dans Z de la forme est un pseudo-anneau. Il a une infinité de neutres à gauche (toutes les matrices de la forme ) mais aucun d'entre eux n'est neutre à droite : ce n'est donc pas un anneau unitaire. De nombreuses algèbres associatives sur R ou C, qui jouent un rôle essentiel en analyse fonctionnelle, sont dépourvues d'élément neutre multiplicatif et sont à ce titre des pseudo-anneaux : ainsi l'espace noté des fonctions qui tendent vers zéro à l'infini sur R, ou l'espace de Schwartz des fonctions à décroissance rapide (muni de la multiplication usuelle des fonctions), l'espace L1 des fonctions Lebesgue-intégrables sur R (muni de la convolution) ou l'espace des opérateurs compacts d'un espace de Hilbert de dimension infinie (muni de la composition des opérateurs).