Dedekind group

In group theory, a Dedekind group is a group G such that every subgroup of G is normal. All abelian groups are Dedekind groups. A non-abelian Dedekind group is called a Hamiltonian group. The most familiar (and smallest) example of a Hamiltonian group is the quaternion group of order 8, denoted by Q8. Dedekind and Baer have shown (in the finite and respectively infinite order case) that every Hamiltonian group is a direct product of the form G = Q8 × B × D, where B is an elementary abelian 2-group, and D is a torsion abelian group with all elements of odd order. Dedekind groups are named after Richard Dedekind, who investigated them in , proving a form of the above structure theorem (for finite groups). He named the non-abelian ones after William Rowan Hamilton, the discoverer of quaternions. In 1898 George Miller delineated the structure of a Hamiltonian group in terms of its order and that of its subgroups. For instance, he shows "a Hamilton group of order 2a has 22a − 6 quaternion groups as subgroups". In 2005 Horvat et al used this structure to count the number of Hamiltonian groups of any order n = 2eo where o is an odd integer. When e < 3 then there are no Hamiltonian groups of order n, otherwise there are the same number as there are Abelian groups of order o.

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Concepts associés (3)

Dedekind group

Théorie des groupes

vignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.

Groupe (mathématiques)

vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition.