In mathematics, the comparison test, sometimes called the direct comparison test to distinguish it from similar related tests (especially the limit comparison test), provides a way of deducing the convergence or divergence of an infinite series or an improper integral. In both cases, the test works by comparing the given series or integral to one whose convergence properties are known.
In calculus, the comparison test for series typically consists of a pair of statements about infinite series with non-negative (real-valued) terms:
If the infinite series converges and for all sufficiently large n (that is, for all for some fixed value N), then the infinite series also converges.
If the infinite series diverges and for all sufficiently large n, then the infinite series also diverges.
Note that the series having larger terms is sometimes said to dominate (or eventually dominate) the series with smaller terms.
Alternatively, the test may be stated in terms of absolute convergence, in which case it also applies to series with complex terms:
If the infinite series is absolutely convergent and for all sufficiently large n, then the infinite series is also absolutely convergent.
If the infinite series is not absolutely convergent and for all sufficiently large n, then the infinite series is also not absolutely convergent.
Note that in this last statement, the series could still be conditionally convergent; for real-valued series, this could happen if the an are not all nonnegative.
The second pair of statements are equivalent to the first in the case of real-valued series because converges absolutely if and only if , a series with nonnegative terms, converges.
The proofs of all the statements given above are similar. Here is a proof of the third statement.
Let and be infinite series such that converges absolutely (thus converges), and without loss of generality assume that for all positive integers n. Consider the partial sums
Since converges absolutely, for some real number T. For all n,
is a nondecreasing sequence and is nonincreasing.
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vignette|Diagramme de décision pour l'application de la règle de Cauchy En mathématiques, la règle de Cauchy, qui doit son nom au mathématicien français Augustin Cauchy, est un critère de convergence pour une série à termes réels ou complexes, ou plus généralement à termes dans un espace vectoriel normé. Cette règle est parfois confondue avec le « critère de Cauchy » selon lequel, dans un espace complet comme R ou C, toute suite de Cauchy converge.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente. Pour des séries numériques, ou à valeurs dans un espace de Banach — c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet —, il suffit de prouver la convergence absolue de la série pour montrer sa convergence, ce qui permet de se ramener à une série à termes réels positifs. Pour étudier ces dernières, il existe une large variété de résultats, tous fondés sur le principe de comparaison.
vignette|Jean Le Rond d'Alembert, mathématicien français. La règle de d'Alembert (ou critère de d'Alembert), doit son nom au mathématicien français Jean le Rond d'Alembert. C'est un test de convergence pour une série à termes positifs. Dans certains cas, elle permet d'établir la convergence absolue d'une série à termes complexes ou vectoriels, ou au contraire sa divergence. Soit (u) une suite de réels strictement positifs. On note et les limites inférieure et supérieure des quotients successifs : Si , alors la série de terme général u converge.
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