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Concept
Série convergente
Résumé
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
Pour des séries numériques, ou à valeurs dans un espace de Banach — c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet —, il suffit de prouver la convergence absolue de la série pour montrer sa convergence, ce qui permet de se ramener à une série à termes réels positifs. Pour étudier ces dernières, il existe une large variété de résultats, tous fondés sur le principe de comparaison.
Les séries considérées sont numériques (à termes réels ou complexes), ou vectorielles, à valeurs dans un espace vectoriel normé. On dit que la série de terme général converge lorsque la suite des sommes partielles converge, où pour tout entier naturel n,
Dans ce cas la somme de la série est la limite de la suite des sommes partielles
Si on modifie un nombre fini de termes d'une série, alors on ne change pas sa nature (convergence ou divergence). Bien sûr, si la série est convergente, changer ses premiers termes modifie sa somme.
Si la série est convergente, alors la suite converge vers 0 puisque
Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite trivialement ou grossièrement divergente.
Exemple : est une série grossièrement divergente
Convergence absolue
La convergence absolue fournit une condition suffisante très fréquemment utilisée de convergence pour les séries numériques. On dit que la série à termes réels ou complexes est absolument convergente lorsque la série de terme général (valeur absolue d'un réel ou module d'un nombre complexe) est convergente. Et dans ce cas, la série elle-même converge.
Plus généralement, si est une série à termes dans un espace de Banach, on dit qu'elle est absolument convergente lorsque la série de terme général est convergente. Et dans ce cas, la série elle-même converge.
Étudier la convergence absolue fournit ainsi une condition suffisante agréable, vu qu'on est ramené à l'étude de séries à termes positifs, pour lesquelles existent de nombreux résultats spécifiques.
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