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Concept
Quadrature (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, la quadrature d'une surface est la recherche d'un carré ayant la même aire que la surface en question. Si dans le langage courant le terme de quadrature revêt le sens d'opération impossible, cela provient du fait que la quadrature la plus célèbre (la quadrature du cercle) se révèle impossible à réaliser à la règle et au compas. Mais, en mathématiques, le terme de quadrature va prendre très rapidement le sens de calcul d'aire. Jusqu'à la fin du , le calcul intégral est inconnu et ces calculs d'aires ne peuvent se faire qu'en utilisant des calculs approchés mettant en place des méthodes comme la méthode d'exhaustion d'Archimède, la méthode des indivisibles de Cavalieri...
La recherche de ces quadratures fait un bond prodigieux (1669-1704) grâce à Leibniz et Newton qui, avec le calcul infinitésimal, font le lien entre quadrature et dérivée.
Depuis cette époque, la recherche des quadratures est associée à celle des primitives : l'aire de la surface délimitée par les droites d'équation et , l'axe (Ox) et la courbe d'équation , où est une fonction positive est ; l'unité d'aire est fournie par l'aire du rectangle unité OINJ où I est le point de coordonnées (1, 0) et J celui de coordonnées (0, 1).
Quadrature du cercle
C'est un problème vieux de plus de 2000 ans, posé par l'école pythagoricienne : peut-on tracer à la règle et au compas un carré ayant même aire qu'un cercle donné ? La réponse à cette question ne viendra que plus de 19 siècles plus tard grâce à Pierre-Laurent Wantzel, Joseph Liouville et Ferdinand von Lindemann : la réponse est non. Le calcul de l'aire d'un disque de rayon r est pourtant réalisable : c'est πr. Cependant le carré qu'il faudrait construire aurait pour côté r, construction impossible à la règle et au compas car π n'est pas un nombre algébrique.
Quadrature de la parabole
La parabole n'est pas une surface. La quadrature de la parabole consiste à déterminer l'aire de la surface comprise entre une corde et une portion de parabole.
Elle est résolue par Archimède (287-212 ).
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