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Concept
Calcul numérique d'une intégrale
Résumé
En analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale définie sur un domaine particulier pour une fonction donnée (par exemple l’intégrale d’une fonction d’une variable sur un intervalle).
Ces techniques procèdent en trois phases distinctes :
Décomposition du domaine en morceaux (un intervalle en sous-intervalles contigus) ;
Intégration approchée de la fonction sur chaque morceau ;
Sommation des résultats numériques ainsi obtenus.
On appelle formule de quadrature une expression linéaire dont l’évaluation fournit une valeur approchée de l’intégrale sur un morceau typique (l’intervalle [0 ; 1] par exemple). Une transformation affine permet de transposer la formule sur un morceau particulier. La formule de quadrature fait intervenir des valeurs pondérées de la fonction (et parfois également celles de sa dérivée) en certains nœuds : les coefficients de pondération et les nœuds dépendent de la méthode employée. Ces formules de quadrature sont en effet obtenues à l’aide de la substitution de la fonction par une approximation, c’est-à-dire par une fonction proche dont l’intégrale peut être déterminée algébriquement.
Une indication grossière de l’efficacité d’une formule de quadrature est son ordre qui, par définition, est la plus grande valeur entière m pour laquelle la valeur approchée de l’intégrale est exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à m.
Cependant, la précision du résultat obtenu dépend à la fois de l’ordre de la formule de quadrature, de la taille des morceaux et de la régularité de la fonction. D’autre part, il est généralement inutile d’appliquer une formule de quadrature d’ordre m si la fonction n’est pas continûment dérivable jusqu’à l’ordre m + 1.
Considérons une intégrale définie dont on cherche à estimer la valeur numérique.
Supposons que a et b soient finis : dans le cas contraire, il est conseillé d’effectuer un changement de variable permettant de satisfaire cette hypothèse.
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