Formule (mathématiques)

En logique et en mathématiques, une formule est une suite finie d'objets, dotée de propriétés particulières qui rendent possible la syntaxe dans tous ces domaines. Étant donné un ensemble E et une fonction de poids p: E →N, une formule est un mot extrait de E obtenu par les deux règles de construction suivantes : un seul élément de E de poids 0 est une formule ; si t est un élément de poids n, pour toute suite de n formules F1, F2, ...., Fn, le mot concaténé tF1F2....Fn est une formule. On reconnaît les « mots significatifs » qui forment un sous-ensemble du monoïde libre Lo(E) construit sur E. La notation théorique introduite ici est celle dite de Łukasiewicz ou « notation polonaise » ; mais la notation communément utilisée en algèbre et en analyse est celle à parenthèses t(F2, ...., Fn) ; si t est de poids 2, on écrit (F1)t(F2) au lieu de tF1F2, et [r(F1, ...., Fm)] t [s(G1, ...., Gn)] au lieu de trF1 ....FmsG1....Gn. Étant donné une formule F, tout intervalle de F qui est une formule en est une sous-formule. Ainsi, F1, rF1....Fm, sG1....Gn sont des sous-formules de trF1 ....FmsG1....Gn. Si F = tF1F2....Fn, les Fi 1≤i≤n sont les sous-formules immédiates de F. Dans tout ensemble de formules, la relation binaire « F est une sous-formule de G » est une relation d'ordre : réflexive, antisymétrique et transitive. Si F est une formule et M un mot non vide, alors FM n’est pas une formule. Corollaire - Si F1, F2, ...., Fm, G1, G2, ...., Gn sont des formules et si F1F2...Fm = G1G2...Gn, alors m = n et pour tout i ≤ n, Fi = Gi. En effet, d’après le théorème précédent, on ne peut avoir Fi = GiM ou Gi = FiM à moins que M ne soit vide. Soient F une formule et t un signe de poids p ; alors les signes qui suivent t dans F se répartissent de façon unique en un nombre m≥p d’occurrences de sous-formules consécutives et disjointes. Étant donné deux occurrences de sous-formules de F, ou bien elles sont disjointes, ou bien l’une est incluse dans l’autre.