Résumé
En logique et en mathématiques, une formule est une suite finie d'objets, dotée de propriétés particulières qui rendent possible la syntaxe dans tous ces domaines. Étant donné un ensemble E et une fonction de poids p: E →N, une formule est un mot extrait de E obtenu par les deux règles de construction suivantes : un seul élément de E de poids 0 est une formule ; si t est un élément de poids n, pour toute suite de n formules F1, F2, ...., Fn, le mot concaténé tF1F2....Fn est une formule. On reconnaît les « mots significatifs » qui forment un sous-ensemble du monoïde libre Lo(E) construit sur E. La notation théorique introduite ici est celle dite de Łukasiewicz ou « notation polonaise » ; mais la notation communément utilisée en algèbre et en analyse est celle à parenthèses t(F2, ...., Fn) ; si t est de poids 2, on écrit (F1)t(F2) au lieu de tF1F2, et [r(F1, ...., Fm)] t [s(G1, ...., Gn)] au lieu de trF1 ....FmsG1....Gn. Étant donné une formule F, tout intervalle de F qui est une formule en est une sous-formule. Ainsi, F1, rF1....Fm, sG1....Gn sont des sous-formules de trF1 ....FmsG1....Gn. Si F = tF1F2....Fn, les Fi 1≤i≤n sont les sous-formules immédiates de F. Dans tout ensemble de formules, la relation binaire « F est une sous-formule de G » est une relation d'ordre : réflexive, antisymétrique et transitive. Si F est une formule et M un mot non vide, alors FM n’est pas une formule. Corollaire - Si F1, F2, ...., Fm, G1, G2, ...., Gn sont des formules et si F1F2...Fm = G1G2...Gn, alors m = n et pour tout i ≤ n, Fi = Gi. En effet, d’après le théorème précédent, on ne peut avoir Fi = GiM ou Gi = FiM à moins que M ne soit vide. Soient F une formule et t un signe de poids p ; alors les signes qui suivent t dans F se répartissent de façon unique en un nombre m≥p d’occurrences de sous-formules consécutives et disjointes. Étant donné deux occurrences de sous-formules de F, ou bien elles sont disjointes, ou bien l’une est incluse dans l’autre.
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