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Concept
On Numbers and Games
Résumé
On Numbers and Games est un livre de mathématiques, en anglais, écrit par John Horton Conway en 1976. Il introduit notamment le concept de nombre surréel et pose les bases de la théorie des jeux partisans. Avec Winning Ways for your Mathematical Plays, ce livre est considéré comme fondateur de la théorie des jeux combinatoires.
Conway indique dans le prologue de la seconde édition (2001) qu'il a écrit ce livre principalement parce que la théorie des nombres surréels commençait à gêner le développement de Winning Ways for your Mathematical Plays, qu'il était alors en train de coécrire avec Elwyn Berlekamp et Richard Guy. En cachette des autres coauteurs, il décida alors d'écrire un livre séparé, et après une semaine de rédaction ininterrompue, On Numbers and Games était prêt.
Le livre est découpé en deux grandes parties, numérotées de façon humoristique zéroième et première partie. La zéroième partie traite des nombres surréels, puis la première partie traite des jeux partisans. Les chapitres de chaque partie sont également numérotés à partir du nombre zéro.
La zéroième partie, intitulée On Numbers..., est composée de 7 chapitres.
Chapitre 0 : All Numbers Great and Small introduit les définitions des nombres surréels, des opérations d'addition et de multiplication, et donne de premiers exemples de nombres surréels.
Chapitre 1 : The Class No is a Field montre que la classe No des nombres surréels, munie des opérations d'addition et de multiplication, possède une structure de corps totalement ordonné.
Chapitre 2 : The Real and Ordinal Numbers montre que les nombres surréels contiennent les nombres réels et aussi les nombres ordinaux.
Chapitre 3 : The Structure of the General Surreal Number propose des notations pour certains nombres surréels, dont ε0, ε1 qui sont équivalentes aux nombres ordinaux, mais qui sont étendues à des nombres nouveaux, comme ε–1. Ce chapitre introduit aussi la forme normale.
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