Nombre epsilon

En mathématiques, les nombres epsilon sont une collection de nombres transfinis définis par la propriété d'être des points fixes d'une application exponentielle. Ils ne peuvent donc pas être atteints à partir de 0 et d'un nombre fini d'exponentiations (et d'opérations « plus faibles », comme l'addition et la multiplication). La forme de base fut introduite par Georg Cantor dans le contexte du calcul sur les ordinaux comme étant les ordinaux ε satisfaisant l'équation où ω est le plus petit ordinal infini ; une extension aux nombres surréels a été découverte par John Horton Conway. Le plus petit de ces ordinaux est ε0 (prononcé epsilon zero), « limite » (réunion) de la suite ; on a donc . La définition standard (par récurrence) de l' exponentiation ordinale de base α est: si est un ordinal limite. Il résulte de cette définition, que pour tout ordinal fixé α > 1, l'application est une , et possède donc des points fixes arbitrairement grands (ce résultat, connu sous le nom de , se démontre en considérant la limite des itérées de la fonction considérée). Pour , ces points fixes sont précisément les nombres epsilon. Le plus petit d'entre eux, ε0, est la borne supérieure (et donc la limite) de la suite où chaque terme est l'image du précédent par l'application (la notation du terme général est la notation des flèches de Knuth, bien que celle-ci ne soit définie que pour les ordinaux finis) . On pourrait donc vouloir noter ε0 par , mais comme il n'est pas clair de savoir ce que signifierait , cette notation ne semble pas avoir été généralisée. Le nombre epsilon suivant est la suite étant à nouveau construite par itération de l'exponentiation de base ω, mais en partant de (et non de , puisque ) ; on a les résultats suivants : Une autre suite ayant la même limite résulte donc de l'exponentiation itérée de base ε0 : Plus généralement, le nombre epsilon indexé par un ordinal successeur α+1 est construit de même par itération de l'exponentiation de base ω partant de , ou par itération de l'exponentiation de base partant de 0 : Les nombres epsilon indexés par des ordinaux limites sont construits différemment : si α n'est pas un successeur, est la borne supérieure de l'ensemble des (le premier nombre de ce type est ).