Équation de Fokker-Planck

L'équation de Fokker-Planck est une équation aux dérivées partielles linéaire que doit satisfaire la densité de probabilité de transition d'un processus de Markov. À l'origine, une forme simplifiée de cette équation a permis d'étudier le mouvement brownien. Comme la plupart des équations aux dérivées partielles, elle ne donne des solutions explicites que dans des cas bien particuliers portant à la fois sur la forme de l'équation, sur la forme du domaine où elle est étudiée (conditions réfléchissante ou absorbante pour les particules browniennes et forme de l'espace dans lequel elles sont confinées par exemple). Elle est nommée en l'honneur d'Adriaan Fokker et de Max Planck, les premiers physiciens à l'avoir proposée. Cette équation concerne un processus de Markov, processus stochastique qui possède la propriété markovienne : la probabilité d'apparition d'un état du système à un instant donné ne dépend que de son histoire la plus récente. Ainsi le processus est caractérisé par une probabilité de transition entre deux états assortie d'une condition initiale. Pour éviter les incohérences, la probabilité de transition doit satisfaire une condition de compatibilité qui s'exprime par une équation intégrale appelée équation de Chapman - Kolmogorov - Smoluchowski. Celle-ci signifie qu'étant donnés trois états successifs, la transition de l'état 1 à l'état 3 est obtenue en effectuant la transition de 1 à 2, puis la transition de 2 à 3. Si le processus est stationnaire, la densité de probabilité du processus est obtenue en faisant tendre la durée de la transition vers l'infini. L'équation intégrale se transforme en une équation aux dérivées partielles selon une méthode définie par Wang et Uhlenbeck. L'équation présentée ci-dessous, limitée au deuxième ordre, n'est pas la plus générale. À une dimension, l'équation de Fokker Planck avec un coefficient de diffusion D2(x,t) et la tendance (un drift) D1(x,t) s'écrit : P est la probabilité de trouver la particule au point x et à l'instant t.