Courbe de Lebesgue

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la courbe de Lebesgue a été étudiée par le mathématicien français Henri Lebesgue en 1904. Elle consiste en une courbe continue, de l'intervalle [0, 1] dans le carré et qui remplit entièrement le carré. Elle constitue donc une courbe de remplissage. Pour tout y élément de l'ensemble de Cantor, on a une décomposition en base 3 de la forme , où, pour tout k, est un chiffre valant 0 ou 2. On associe à ce réel y un point f(y) du plan de coordonnées . On définit ainsi une fonction f de l'ensemble de Cantor dans le carré . On prolonge ensuite f à l'intervalle [0, 1] tout entier de façon que, sur chaque intervalle composante connexe du complémentaire dans [0, 1] de l'ensemble de Cantor, le prolongement soit une fonction affine. Le prolongement obtenu est alors une fonction continue et surjective de [0, 1] sur . Elle est en outre presque partout dérivable. La courbe de Lebesgue peut aussi être réalisée en trois dimensions. Il suffit pour cela de scinder les chiffres de y en trois sous-familles. Si on se limite à un calcul numérique limité à n chiffres , l'approximation de la courbe de Lebesgue que l'on obtient peut se représenter dans un quadrillage de carrés, chacun possédant un côté de même longueur . La courbe approximée passe par les centres de tous les carrés. En passant à la limite, on obtient la courbe de Lebesgue. La construction de la courbe approchée peut se faire récursivement comme suit : A l'étape 0, la courbe C(0) se limite à un seul point, disposé au centre d'un carré. Ce point est à la fois point initial et point final de C(0). Pour n strictement positif, on divise un carré en quatre sous-carrés qu'on numérote de 0 à 3 selon le schéma ci-dessous : On dispose dans chaque carré un exemplaire de la courbe C(n-1) calculée au rang précédent, puis, pour i variant de 0 à 2, on relie par un segment le point final de la courbe C(n-1) disposé dans le carré i au point initial de la courbe C(n-1) disposé dans le carré i+1.