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Concept
Courbe remplissante
Résumé
En analyse mathématique, une courbe remplissante (parfois appelée courbe de remplissage) est une courbe dont l' contient le carré unité entier (ou plus généralement un hypercube de dimension n).
En raison du fait que le mathématicien Giuseppe Peano (1858–1932) a été le premier à découvrir dans le plan (en dimension 2) une telle courbe, les courbes remplissantes sont parfois appelées courbes de Peano, mais cette dénomination fait maintenant référence à la courbe de Peano qui désigne cet exemple spécifique de courbe remplissante découvert par Peano.
De façon intuitive, une courbe continue dans un espace de dimension n donnée peut être vue comme le parcours d'un point se déplaçant de façon continue dans cet espace. Afin d'éliminer toute ambiguïté à cette notion, Jordan en 1887 pose la définition rigoureuse suivante, qui depuis est utilisée pour décrire précisément la notion de courbe continue :
De façon plus générale, l'image d'une telle fonction peut appartenir à un espace topologique arbitraire, mais pour les cas les plus couramment étudiés, l'image appartient à un espace euclidien comme le plan de dimension 2 (on parle alors de courbe plane) ou l'espace de dimension 3 (courbe spatiale).
Parfois, la courbe est identifiée à l'image de la fonction associée (l'ensemble de toutes les valeurs prises par cette fonction), plutôt qu'à la fonction elle-même. Il est également possible de définir des courbes sans extrémités (ouvertes) comme des fonctions continues sur la droite réelle (ou l'intervalle unité ouvert ]0; 1[).
Courbe de Peano
En 1890, Giuseppe Peano découvre une courbe continue qui passe par chaque point du carré unité . Son but était de construire une projection continue de l'intervalle unité vers le carré unité, motivé par un résultat contre-intuitif précédemment montré par Georg Cantor selon lequel le nombre infini de points dans l'intervalle unité est de même cardinal que le nombre infini de points dans toute variété de dimension finie, comme le carré unité.
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