En analyse mathématique, une courbe remplissante (parfois appelée courbe de remplissage) est une courbe dont l' contient le carré unité entier (ou plus généralement un hypercube de dimension n). En raison du fait que le mathématicien Giuseppe Peano (1858–1932) a été le premier à découvrir dans le plan (en dimension 2) une telle courbe, les courbes remplissantes sont parfois appelées courbes de Peano, mais cette dénomination fait maintenant référence à la courbe de Peano qui désigne cet exemple spécifique de courbe remplissante découvert par Peano. De façon intuitive, une courbe continue dans un espace de dimension n donnée peut être vue comme le parcours d'un point se déplaçant de façon continue dans cet espace. Afin d'éliminer toute ambiguïté à cette notion, Jordan en 1887 pose la définition rigoureuse suivante, qui depuis est utilisée pour décrire précisément la notion de courbe continue : De façon plus générale, l'image d'une telle fonction peut appartenir à un espace topologique arbitraire, mais pour les cas les plus couramment étudiés, l'image appartient à un espace euclidien comme le plan de dimension 2 (on parle alors de courbe plane) ou l'espace de dimension 3 (courbe spatiale). Parfois, la courbe est identifiée à l'image de la fonction associée (l'ensemble de toutes les valeurs prises par cette fonction), plutôt qu'à la fonction elle-même. Il est également possible de définir des courbes sans extrémités (ouvertes) comme des fonctions continues sur la droite réelle (ou l'intervalle unité ouvert ]0; 1[). Courbe de Peano En 1890, Giuseppe Peano découvre une courbe continue qui passe par chaque point du carré unité . Son but était de construire une projection continue de l'intervalle unité vers le carré unité, motivé par un résultat contre-intuitif précédemment montré par Georg Cantor selon lequel le nombre infini de points dans l'intervalle unité est de même cardinal que le nombre infini de points dans toute variété de dimension finie, comme le carré unité.

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Courbe de Hilbert
La courbe de Hilbert est une courbe continue remplissant un carré. Elle a été décrite pour la première fois par le mathématicien allemand David Hilbert en 1891. Comme elle couvre un carré, sa dimension de Hausdorff et sa dimension topologique sont égales à 2. On la considère cependant comme faisant partie des fractales. La longueur euclidienne de H (la courbe approchée continue obtenue à la n-ième itération) est ; elle croit donc exponentiellement avec n.
Cas pathologique
droite|vignette|La fonction de Weierstrass est une fonction continue nulle part dérivable. En mathématiques, un objet pathologique est un objet qui s'oppose à l'intuition que l'on a de la situation générale. Par exemple, la fonction de Weierstrass, qui est une fonction continue nulle part dérivable, peut être considérée comme pathologique car elle s'oppose à l'intuition que l'on a des fonctions continues. Ainsi, Henri Poincaré écrit à leur sujet : Objet exceptionnel Position générale Catégorie:Vocabulaire d
Dimension de Hausdorff
En mathématiques, et plus précisément en topologie, la dimension de Hausdorff d'un espace métrique (X,d) est un nombre réel positif ou nul, éventuellement l'infini. Introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée par Abram Besicovitch, c'est pourquoi elle est parfois appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch. L'exemple le plus simple est l'espace euclidien de dimension (au sens des espaces vectoriels) égale à n (ou plus généralement un espace vectoriel réel de dimension n muni d'une distance associée à une norme) : sa dimension de Hausdorff d est aussi égale à n, dimension de l'espace vectoriel.
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