Méthode d'exhaustion

En mathématiques, la méthode d'exhaustion est un procédé ancien de calcul d'aires, de volumes et de longueurs de figures géométriques complexes. La quadrature est la recherche de l'aire d'une surface, la rectification est celle de la longueur d'une courbe. Dans le cas du calcul de l'aire A d'une figure plane, la méthode d'exhaustion consiste en un double raisonnement par l'absurde : on suppose que son aire est strictement supérieure à A, puis on aboutit à une contradiction ; on suppose ensuite que son aire est strictement inférieure à A, puis on aboutit à une autre contradiction. On parvient ainsi à montrer que l'aire de la figure est A. On attribue à Eudoxe de Cnide la paternité de ce procédé. Archimède l'illustra brillamment, en faisant grand usage de qui porte son nom (Archimède utilisait également une méthode d'encadrement qui lui est apparentée). Bien que lourde à mettre en œuvre, elle resta, dans son domaine, la seule méthode de démonstration considérée comme vraiment rigoureuse, pendant plusieurs siècles. Même l'apparition de la méthode des indivisibles, au début du , ne la rendit pas complètement obsolète. Elle fut cependant dépassée, quelques décennies plus tard, par les succès du calcul infinitésimal. Elle inspire encore la méthode des coupures, que Richard Dedekind utilise en 1858 pour la construction des nombres réels. Celle-ci fournit cependant une fondation de l'analyse entièrement dégagée des considérations géométriques, ce qui n'est pas le cas de la méthode d'exhaustion. La méthode d'exhaustion fut utilisée dans les problèmes suivants : La proposition 2 du livre XII des Eléments d'Euclide démontre que l'aire d'un disque est proportionnelle au carré du diamètre. Elle repose sur une propriété analogue portant sur les polygones inscrits dans un cercle et précédemment démontrée par Euclide : pour deux polygones semblables d'aires C et C inscrits dans des cercles de diamètres respectifs D et D, on a : C/C= D2/D2. Le principe de la méthode d'exhaustion est le suivant.