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Concept
Méthode des indivisibles
Résumé
vignette|Illustration du principe de Cavalieri : les deux piles de jetons ont même volume car leurs sections par des plans parallèles sont de même aire.
En géométrie, la méthode des indivisibles ou principe de Cavalieri est une méthode de calcul d'aire et de volume inventée par Bonaventura Cavalieri au , développée par Gilles Personne de Roberval, Evangelista Torricelli et Blaise Pascal, plus efficace que la méthode d'exhaustion d'Archimède mais aussi plus risquée à appliquer. On peut la considérer comme l'ancêtre du calcul intégral, développé quelque temps après par Leibniz et Newton.
Le principe est énoncé par Liu Hui au puis par Bonaventura Cavalieri au .
Une surface est une juxtaposition de lignes parallèles. Pour Cavalieri, des lignes parallèles sont des segments de droites parallèles ou des arcs de cercles concentriques. Chaque ligne est appelée un indivisible de la surface à quarrer. Si deux surfaces sont constituées de lignes de mêmes longueurs, elles ont même aire.
Un principe analogue existe pour les volumes et établit que les volumes de deux objets sont égaux si les sections transversales correspondantes sont, dans tous les cas, égales. Deux sections transversales correspondent si elles sont des intersections de l'objet avec des plans équidistants d'un plan de base donné.
La méthode est d'une très grande efficacité pour retrouver l'aire du disque de rayon R et l'aire de la spirale d'Archimède.
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Le disque est constitué de cercles concentriques dont la longueur est 2πr où r varie de 0 à R. Ces cercles sont les indivisibles du disque.
Un triangle de base L = 2πR et de hauteur R est aussi constitué de lignes de longueur 2πr où r varie de 0 à R. Ces segments sont les indivisibles du triangle.
Ces deux surfaces ont des indivisibles de même longueur, elles ont donc même aire. L'aire du triangle est base × hauteur / 2 = (2πR × R)/2 = πR.
La spirale d'Archimède est obtenue en déplaçant un point sur un segment de droite selon un mouvement uniforme tandis que la droite tourne autour d'un point selon un mouvement uniforme.
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