Concept
En analyse fonctionnelle et dans les domaines proches des mathématiques, les espaces tonnelés sont des espaces vectoriels topologiques où tout ensemble tonnelé - ou tonneau - de l'espace est un voisinage du vecteur nul. La raison principale de leur importance est qu'ils sont exactement ceux pour lesquels le théorème de Banach-Steinhaus s'applique. Nicolas Bourbaki a inventé des termes tels que « tonneau » ou espace « tonnelé » (à partir des tonneaux de vin) ainsi que les espaces « bornologiques ». Compte tenu des propriétés d'un tonneau dans un espace localement convexe, les conditions suivantes sont équivalentes pour un espace localement convexe tonnelé E (dont le dual est noté ) : (a) E est tonnelé ; (b) toute partie faiblement bornée de est équicontinue ; (c) toute semi-norme semi-continue inférieurement dans E est continue (d) pour tout espace localement convexe F, toute partie simplement bornée de est équicontinue. (Ces équivalences sont une conséquence du théorème des bipolaires, donc du théorème de Hahn-Banach.) Un espace localement convexe E est tonnelé si, et seulement si sa topologie initiale coïncide avec la topologie forte . Les espaces de Fréchet, et en particulier les espaces de Banach, sont tonnelés, mais généralement les espaces vectoriels normés ne sont pas tonnelés. Les espaces de Montel sont tonnelés, par définition. les espaces vectoriels topologiques qui sont des espaces de de Baire sont tonnelés. Un séparé, complet est tonnelé. Un espace limite inductive d'une famille d'espaces tonnelés est tonnelé. Par conséquent, un espace ultrabornologique est tonnelé, et en particulier un espace bornologique et semi-complet est tonnelé (mais il existe des espaces tonnelés qui ne sont pas bornologiques). Un espace quotient d'un espace tonnelé est tonnelé (en revanche, un sous-espace fermé d'un espace tonnelé n'est pas nécessairement tonnelé). Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un espace somme directe d'espaces localement convexes soit tonnelé est que chacun des le soit. Un produit d'espaces tonnelés est tonnelé.