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Concept
Théorème de Banach-Steinhaus
Résumé
Le théorème de Banach-Steinhaus fait partie, au même titre que le théorème de Hahn-Banach et le théorème de Banach-Schauder, des résultats fondamentaux de l'analyse fonctionnelle. Publié initialement par Stefan Banach et Hugo Steinhaus en 1927, il a aussi été prouvé indépendamment par Hans Hahn, et a connu depuis de nombreuses généralisations.
La formulation originelle de ce théorème est la suivante :
Lorsque E est un espace de Banach (donc de Baire), il suffit donc que la famille soit simplement bornée sur une partie comaigre, comme E lui-même.
Considérons, pour chaque entier naturel n, l'ensemble des vecteurs x de E tels que pour tout indice i, f(x) ≤ n :
C'est une intersection de fermés, donc un fermé. L'ensemble sur lequel la famille est simplement bornée est la réunion de ces A. Si cette réunion est non maigre alors l'un des A n'est pas d'intérieur vide : il existe un entier naturel n tel que contienne une boule fermée de rayon r > 0. Notons a son centre.
Pour tout vecteur unitaire x de E,
Par conséquent, est uniformément bornée sur la boule unité :
où est la norme d'opérateur de .
somme de Riemann
Soit E l'espace des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs réelles, muni de la norme , de sorte que E est bien un espace de Banach, et F = R. Pour chaque entier naturel n, soit u l'opérateur défini par :
Pour toute fonction f, n'est autre que l'erreur commise dans le calcul de l'intégrale de f lorsque l'on prend une somme de Riemann correspondant à une subdivision régulière de [0, 1] en n intervalles égaux. Cette erreur est un pour les fonctions de classe C ou lipschitziennes, mais il n'en est pas de même pour les fonctions continues en général. En effet, on montre que , de sorte que et donc que le complémentaire de A est dense. Une fonction f appartenant à ce complémentaire vérifie donc , ce qui signifie que l'ensemble n'est pas borné et donc que l'erreur commise n'est pas un .
Le théorème de Banach-Steinhaus donne une preuve de l'existence d'objets vérifiant telle ou telle propriété, mais cette preuve n'est pas constructive.
Source officielle
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