Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.
Concept
Théorème de Cayley-Hamilton
Résumé
vignette|Portrait d'Arthur Cayley
En algèbre linéaire, le théorème de Cayley-Hamilton affirme que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif quelconque annule son propre polynôme caractéristique.
En termes de matrice, cela signifie que si A est une matrice carrée d'ordre n et si
est son polynôme caractéristique (polynôme d'indéterminée X), alors en remplaçant formellement X par la matrice A dans le polynôme, le résultat est la matrice nulle :
Le théorème de Cayley-Hamilton s'applique aussi à des matrices carrées à coefficients dans un anneau commutatif quelconque.
Un corollaire important du théorème de Cayley-Hamilton affirme que le polynôme minimal d'une matrice donnée est un diviseur de son polynôme caractéristique.
Bien qu'il porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton, la première démonstration du théorème est donnée par Ferdinand Georg Frobenius en 1878, Cayley l'ayant principalement utilisé dans ses travaux, et Hamilton l'ayant démontré en dimension 2.
Ce théorème possède deux familles d'utilisation :
Il permet d'établir des résultats théoriques, par exemple pour calculer le polynôme caractéristique d'un endomorphisme nilpotent.
Il autorise aussi des simplifications puissantes dans les calculs de matrices. L'approche par les polynômes minimaux est en général moins coûteuse que celle par les déterminants.
On trouve ce théorème utilisé dans les articles sur les polynômes d'endomorphisme, endomorphismes nilpotents, et plus généralement dans la théorie générale des matrices.
Considérons par exemple la matrice
Le polynôme caractéristique s'écrit
Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que
et cette relation peut être rapidement vérifiée dans ce cas.
De plus le théorème de Cayley-Hamilton permet de calculer les puissances d'une matrice plus simplement que par un calcul direct.
Reprenons la relation précédente
Ainsi, par exemple, pour calculer A4, nous pouvons écrire
et il vient
On peut également utiliser la relation polynomiale initiale pour prouver l'inversibilité de A et calculer son inverse.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.