Transformation de Weierstrass
En analyse, la transformée de Weierstrass d'une fonction f : R → R, du nom de Karl Weierstrass, est une version "lissée" de f (x) obtenue en moyennant les valeurs de f, pondérées avec une courbe gaussienne centrée en x. La fonction, notée F, est définie par la convolution de f avec la fonction gaussienne Le facteur 1/ est choisi pour des raisons de normalisation, la gaussienne étant ainsi d'intégrale égale à 1 et les fonctions constantes ne sont pas changées par la transformation de Weierstrass. On pourra aussi utiliser la notation Wf. La transformée F (x) n'est pas nécessairement définie pour tout x, où l'intégrale ne converge pas. La transformation de Weierstrass est intimement liée à l'équation de la chaleur (ou, plus généralement, l'équation de diffusion avec coefficient de diffusion constant). Si la fonction f décrit la température initiale en chaque point d'une poutre infiniment longue de conductivité thermique égale à 1, alors la distribution thermique de la poutre au temps t = 1 sera donnée par la fonction F. En faisant varier les valeurs de t, on peut construire une transformée généralisée de Weierstrass de f. La transformation généralisée de Weierstrass donne un moyen d'approcher une fonction intégrable f donnée arbitrairement avec des fonctions analytiques. Weierstrass a utilisé cette transformation dans sa preuve originale du théorème d'approximation de Weierstrass. Elle est également appelée transformation de Gauss ou de Gauss–Weierstrass du nom de Carl Friedrich Gauss et aussi transformation de Hille d'après Einar Carl Hille qui l'a étudié en profondeur. La généralisation Wt mentionnée supra est connue en traitement du signal comme un filtre de Gauss et en (quand définie sur ) comme un flou gaussien. Toute fonction constante est également à sa transformée de Weierstrass. La transformée de Weierstrass d'un polynôme est un polynôme de même degré. En effet, si Hn désigne le polynôme d'Hermite (physique) de degré n, alors la transformée de Weierstrass de Hn(x/2) est égale à xn.
